三角平方差公式、倍角三角形、射影定理、积化和差、和差化积公式讲义-2024届高三数学一轮复习

三角平方差公式、倍角三角形、射影定理、积化和差、和差化积公式 本节介绍解三角形中常用的几个恒等式，第一个是三角平方差公式，其在三角形中的应用出现在新教材必修2第54页16题. 射影定理则在老教材必修五中出现，很多全国卷的题目都跟这两个恒等式有关，以及其它三个公式的运用 一．基本原理 结论1. 正余弦平方差公式 ， . 结论2.倍角三角形 倍角三角形定理：如下图所示，在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则. 证明：必要性证明： ，做A的角平分分交BC于D,故.且. 所以，①，且②，两式相加可 得: ，即 充分性证明： （法一）当时，由正弦定理，得，由正弦平方差公式，得，由，得，所以，又，所以或（舍去），故. （法二）反之，由，又因为，对比即得， 整理得，由正弦定理边化角得， 又，所以， 化简得，逆用两角差的正弦公式得， 因为中，，即 结论3.射影定理：在中， 结论4.积化和差公式： ； ； 积化和差口诀： ； 积化和差得和差，余弦在后要相加； . 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由，，得 . 这样，若令，则上述积化和差公式可进一步抽象得：. 结论5.和差化积公式: 和差化积公式口诀： 正弦＋正弦,正弦在前； 正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩； 余弦－余弦，余弦靠边。 二．全国卷中的应用 题型一：正余弦平方差公式的运用 例1.（2022乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知 ． （1）证明：； （2）若，，求的周长． 解析：（1）依题，，由上述结论（其实就是展开，熟悉平方差公式的同学当然就知道这里的解题方向了），可得： ，故，得证. （2）当，时，，， 所以，解得，所以的周长为． 变式.在中，角所对的边分别是.，则的范围是_______. 解析：易得，结合正弦定理和三角函数中的平方差公式可得 ，从而可求得其范围是. 题型二：倍角三角形的运用 例2.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，，则______. 解析：解法1：， 将代入可解得：或，若，则，从而， 结合可得，而显然，矛盾，所以. 解法2：由倍角三角形定理，，将代入可得：，解得：. 解法3（倍角三角形定理）因为，所以由倍角三角形定理，，又，所以可设，则，从而，故，所以. 变式1.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，则_______. 解析：因为，所以由倍角三角形定理，，又，所以可设，则，从而，故，所以. 变式2.在中,平分交于点,则线段的长为_______. 解析:方法1：因为,所以由正弦定理,得, 所以,则-1. 在中,,即,解得(舍去)或.由三角形的角平分线,得,即,解得. 方法2.（倍角三角形定理）由，即，代入具体数值可得：.由三角形的角平分线,得,即,解得. 变式3：在锐角中，内角的对边分别为．若，则的取值范围为____________ 解析：因为，所以由正弦定理边化角得， 又因为，对比即得，整理得，由正弦定理边化角得，又， 所以，化简得，逆用两角差的正弦公式得， 因为是锐角三角形，所以， 所以，即，所以，解得， 所以，因为，所以，所以的取值范围为.故答案为：. 题型三：射影定理的运用 例3.在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，则_______. 解析：解法1： . 解法2：由射影定理，. 变式.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，则的面积为_______. 解析：由射影定理，，又，所以 ，化简得：，因为，且函数在上单调递减，所以，故，又，所以，从而，结合可得，所以，，故. 走进高考： （2017年全国新课标2卷）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则_______. 解析：解法1：边化角+内角和定理 ，即 ，因为，所以，故，即. 解法2：由射影定理，，故，结合知. （2016年新课标全国1卷）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求C； （2）若的面积为，求的周长． 解析：(1)由正弦定理得：，∵，，∴，∴， ∵，∴． （2）由余弦定理得：，， ，∴，∴，∴周长为 （2013年新课标全国2卷）在内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，求△面积的最大值． 解析：（1）因为，所以由正弦定理得：， 所以，即，因为0，所以， 解得B=；（2）由余弦定理得：，即，由不等式得： ，当且仅当时，取等号，所以，解得， 所以△ABC的面积为=，所以△面积的最大值为． 题型四：积化和差公式的运用 例4