微专题3：三角中的最值、范围问题训练-2024届高三数学一轮复习

微专题3 三角中的最值、范围问题 一、基本技能练 1.(2023·咸阳模拟)函数f(x)＝sin－cos x的最小值为(　　) A.1 B.－1 C. D.－ 2.(2023·襄阳联考)在△ABC中，AC＝2，BC＝4，则B的最大值为(　　) A. B. C. D. 3.(多选)(2023·重庆调研)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A.若b＝1，c＝2，A＝，则a＝ B.若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝2 C.若sin2A＋sin2B＋cos2C>1，则△ABC为锐角三角形 D.若A＝60°，a＝5，则△ABC面积的最大值为 4.(2023·丽水质检)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＋sin B＝2，c＝1，则△ABC面积的取值范围为(　　) A. B. C. D. 5.(2023·吉安调研)在△ABC中，AB＝BC，D是边AB的中点，△ABC的面积为，则线段CD长度的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，＋∞) C. D. 6.(多选)(2023·佛山模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设BC边上的中点为M，△ABC的面积为S，其中a＝2，b2＋c2＝24，则下列说法中正确的是(　　) A.若A＝，则S＝3 B.S的最大值为3 C.AM＝3 D.角A的最小值为 7.已知A，B，C为△ABC的三内角，且角A为锐角，若tan B＝2tan A，则＋的最小值为___________________________________________. 8.(2023·成都石室中学联测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(sin A－sin C)＝(b－c)(sin B＋sin C)，b＝3，则△ABC的周长的最大值是________. 9.(2023·浙江精诚联盟考试)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2sin A，b＝2cos B，则B＝______；a的取值范围为_____________________________. 10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________. 11.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角. (1)证明：B－A＝； (2)求sin A＋sin C的取值范围. 12.(2023·合肥调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________. 在下面的三个条件中任选一个补充到上面的问题中，并给出解答： ①2a－b＝2ccos B，②sin＝cos C＋， ③m＝(a－c，b－a)，n＝(a＋c，b)，m⊥n. (1)求角C； (2)若c＝，求△ABC周长的取值范围. 二、创新拓展练 13.(2023·西工大附中模拟)在△ABC中，∠BAC＝，BC边上的高为1，则△ABC面积的最小值为(　　) A.－2 B.2－ C.2＋ D.2＋ 14.(多选)(2023·长郡中学模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A＝2sin Bsin C，下列说法正确的是(　　) A.若a＝1，则S△ABC＝ B.△ABC外接圆的半径为 C.＋取得最小值时，A＝ D.A＝时，＋取得最大值为2 15.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A≠，c＋bcos A－acos B＝acos A，则＝________；内角B的取值范围是________. 16.(2023·枣庄模拟)已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin A，sin B， sin C成等差数列，则角B的取值范围是________，2sin B＋sin 2B最大值为________. 17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知acos C－asin C＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝2，求BC边上的中线AD长度的最小值. 参考答案 1.D　[f(x)＝sin－cos x＝sin x－cos x－cos x＝sin x－cos x ＝sin， 当sin＝－1时，f(x)取得最小值－.] 2.A　[设AB＝x，x>0，由余弦定理可得 cos B＝＝ ＝＋≥2＝， 当且仅当x＝2时，等号成立. 因为0<B<π，则0<B≤.故选A.] 3.ABD　[对于A，因为b＝1，c＝2，A＝， 所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，解得a＝，故A正确； 对于B，因为b＝5，B＝，sin A＝， 所以