四川省南充市南部中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 四川省南充市南部中学高2022级高二第一学期第二次月考 数学 时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1.直线 恒过定点 ( ) A. B. C. D. 2.空间四边形 中,（ ） A. B. C. D. 3.若圆 与圆关于原点对称, 则圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4.在正方体 中,是的中点, 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5.设 是双曲线上一点, 双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点, 若, 则（ ） A.1 或 5 B.6 C.7 D.8 6.已知 是双曲线的两个焦点,为上一点, 且, 则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 若椭圆的中心为原点, 焦点在轴上, 椭圆的面积为, 且离心率为, 则的标准方程为 ( ) A. B. C. D. 8.过椭圆 右焦点的直线交于两点,为的中点, 且的斜率为, 则椭圆的方程为 ( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.设 为不同的直线,为不同的平面, 则下列结论中正确的是（ ） A.若 , 则 B.若 , 则 C.若 , 则 D.若 , 则 10.椭圆 的离心率为, 短轴长为, 则（ ） A.椭圆的方程为 B.椭圆与双曲线 的焦点相同 C.椭圆过点 D.直线 与椭圆恒有两个交点 11.已知直线 , 圆, 则下列结论正确的是（ ） A.直线 恒过定点 B.直线 与圆恒有两个公共点 C.直线 与圆的相交弦长的最大值为 D.当 时, 圆与圆关于直线对称 12.已知曲线 分别为曲线的左、右焦点, 则下列说法正确的是（ ） A.若 , 则曲线的两条渐近线所成的锐角为 B.若曲线 的离心率, 则 C.若 , 则曲线上不存在点, 使得 D.若 为上一个动点, 则面积的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知空间向量 , 则___________. 14已知 是直线的方向向量,是平面的法向量, 若, 则___________. 15已知圆 , 点为轴上一个动点, 过点作圆的两条切线, 切点分别为, 则的最小值为__________. 16若坐标原点 和点分别为双曲线的中心和左焦点, 点为双曲线右支上的任意一点, 则的最小值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知直线 . (1) 若 , 求的值; (2) 若 , 求的值. 18.（本题满分12分）解答下列两个小题： (1) 双曲线 实轴长为 2 , 且双曲线与椭圆的焦点相同, 求双曲线的标准方程; (2) 已知双曲线 与双曲线有相同的渐近线, 且经过点, 求双曲线的方程; 19（本题满分12分）如图, 棱长为 2 的正方体 中,是的中点. (1) 证明: 平面; (2) 求三棱锥 的体积. 20.（本题满分12分）已知点 动点满足. (1) 求动点 的轨迹方程; (2) 若动点 满足, 求动点的轨迹方程; (3) 过点 的直线交动点的轨迹于, 且, 求直线的方程. 21.（本题满分12分）如图甲所示, 四边形 为正方形,为的中点.将沿直线翻折使得平面, 如图乙所示. (1) 求证: 平面 平面; (2) 求平面 与平面所成二面角的正弦值. 22.（本题满分12分）已知椭圆 的长轴长为 4 , 且离心率为. (1) 求椭圆 的标准方程; (2) 椭圆 的右顶点为, 若点在椭圆上, 且满足直线与的斜率之积为, 求 参考答案及解析 1. 【答案】D 【解析】当 , 即时,,直线恒过定点.故选: D. 2. 【答案】A 【解析】根据向量的加法、减法法则，得.故选 A. 3. 【答案】A 【解析】由于圆 的圆心, 半径为 1, 圆 与圆关于原点对称, 故、半径为 1, 故圆 的方程为:.故选: A. 4. 【答案】B 【解析】以 为原点,为轴,为轴,为轴, 建立空间直角坐标系: 设正方体 中棱长为 2, 则 ,, 设异面直线 与所成角为, 则, 异面直线与所成角的余弦值为.故选: B. 5. 【答案】C 【解析】双曲线 的一条