正方体截面问题讲义(1)-2024届高三数学一轮复习

2024届立体几何核心考点（三）截面问题 一．基本知识：过正方体（长方体）上三点做截面. 1.三点中有两点共面 例1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面． 思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面. 解析：作法：①.由于共面，在底面内，过作直线，与于，显然，此时即在侧面内，又在欲求截面内，而该截面与侧面又交于点，根据公理1，截面与侧面交于. 同理，过作直线与的延长线交于，此时即在侧面内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面交于. ②在侧面内，连接交于. ③在侧面内，连接交于. ④连接.则五边形EFHGK即为所求的截面． 例2.正方体中，、分别是棱和上的点，，，那么正方体的过、、的截面图形是　　 A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：正方体中，、分别是棱和上的点，，， 延长交于，延长交于，连结交于，于，连结，，则正方体的过、、的截面图形是五边形．故选：． 例3.（三点所在的棱两两异面） 如图，长方体中，分别为上三点，求过这三点的截面. 解析：此题的难点在于三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题. 解：如图，作交与，则确定一个平面，转化为例1的情形. 连接,交于点；连接交延长线于；连接交延长线于；连接交于.则为所作截面. 8．如图，正方体的棱长为1，，分别为棱，上的点，下列说法正确的是　②③④　．（填上所有正确命题的序号） ①平面； ②在平面内总存在与平面平行的直线； ③△在侧面上的正投影是面积为定值的三角形； ④当，为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形． 解析：对于①平面，不一定成立，因为平面，而两个平面与面不一定平行． 对于②在平面内总存在与平面平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确； 对于③△在侧面上 的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱，而点在面上的投影到此棱的距离是定值，故正确；对于④，当，为中点时平面截该正方体所得的截面图形是五边形，故答案为：②③④ 二．截面的的画法 作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 三．正方体中的基本截面类型 三．习题演练 1.（三点两两共面）P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试画出过P，Q，R三点的截面作法． 解析：作法：（1）连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F. （2）连接EF交AB于T，交AD于S. （3）连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面． 2.如图，在棱长为12的正方体中，已知E，F分别为棱AB，的中点，若过点，E，F的平面截正方体所得的截面为一个多边形，求该多边形的周长. 解析：如图，延长DC，与的延长线交于点G，连接EG，交BC于点H，延长GE，与DA的延长线交于点M，连接，交于点N．连接NE，FH，因为正方体的棱长为12，所以．因为∥，所以， 所以，所以，同理可得，所以， 所以，， 所以，．易知，所以 ，又，解得，所以， ， 则该多边形的周长为. 3.如图，正方体的棱长为1，，分别为棱和上的点，则下列说法正确的是　②③④⑤　．（填上所有正确命题的序号） ①平面； ②在平面内总存在与平面平行的直线； ③△在侧面上的正投影是面积为定值的三角形； ④当，为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形； ⑤当，为中点时，平面与棱交于点，则． 解析：对于①，平面，不一定成立，因为与不一定垂直．故①错误；对于②，在平面内总存在与平面平行的直线， 此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，故②正确； 对于③，△在侧面上 的正投影是面积为定值的三角形， 此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱， 而点在面上的投影到此棱的距离是定值，故③正确； 对于④当，为中点时，平面截该正方体所得的截面图形是五边形，故④正确；对于⑤由面面平行的性质定理可得，故，，故，故⑤正确．