2024年九年级中考数学高频考点突破——二次函数与等腰三角形

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与等腰三角形 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B(3，0)，C(0，)，连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得MBC为等腰三角形，若存在，求M的坐标； （3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求出线段EF的最大值及此时E点的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC． （1）求点A，B，C的坐标； （2）动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM，BM，当t为何值时，为等腰三角形? （3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得被BA平分?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（﹣6，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积与△ABC的面积相等，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点Q，使△CMQ是以MC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 5．在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； (3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．抛物线过点A（－1，0），点B（3，0），顶点为C． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作，边EF交x轴于点F，当AF的长度最大时，求点E的坐标． 7．如图，抛物线的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点为抛物线上一点，且，过点E作轴，交抛物线的对称轴于点F，作轴于点H，得到矩形．求矩形的周长的最大值； (3)如图②，点P是y轴上的一点，是否存在点P，使以点A、C、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线y＝kx＋3交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=－x2＋2x＋3经过A、B两点． (1)求k的值和抛物线的顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴，轴正半轴上两动点，，，以，为邻边构造矩形，抛物线交轴于点，为顶点，轴于点． (1)求，的长（结果均用含的代数式表示）． (2)当时，求该抛物线的表达式． (3)在点在整个运动过程中，若存在是等腰三角形，请求出所有满足条件的的值． 10．已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射线上一动点，连接，交于点F． (1)求b和c的值及点C的坐标； (2)求证∶ (3)是否存在点M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 11．已知直线，抛物线：． (1)若抛物线经过，两点，且抛物线的顶点在直线上，求此时抛物线的顶点坐标； (2)若把直线向上平移