2024年九年级中考数学高频考点突破——圆的综合

2024年中考数学高频考点突破——圆的综合 1．如图，是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且，连接，过点C作交的延长线于点D． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若， ，求的长． 2．如图，是的直径，点C为圆上一点，平分，与相交于E点，． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 3．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，． (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 4．如图，AB是的直径，点C是上一点，过点B作的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，点E是上一点，，连接BE交AC于点H，. (1)求证：； (2)若BD=5，求AB长. 5．如图，在中，，C为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的面积与的面积之比为，求的值． 6．如图，已知是的外接圆，点D是的内心，的延长线与相交于点E，过E作直线． (1)求证：l是的切线； (2)连接，若，求的长． 7．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 8．如图，是半圆O的直径，点C是弧的中点，点D是弧的中点，、相交于点E，连接、． (1)求证：； (2)若，求的面积． 9．如图，经过正方形的顶点，，与相切于点，分别交，于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的值． 10．如图，在中，，以为直径的与交于点，连接． (1)尺规作图：作劣弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若与相切，求（1）中作图得到的的度数． 11．如图，在中，点是直径延长线上的一点，点是直径上方圆上的一点，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)若平分，且分别交于点，当时，求的长． 12．如图，内接于，，的延长线交于点．是外一点，连接，，于点．已知，，． (1)求证：是的切线． (2)求的长． 13．如图，点在的直径的延长线上，点在上，平分，于点． (1)求证：是的切线． (2)是的切线，为切点，若，，求的长． 14．如图，矩形内接于⊙O．请用直尺（不带刻度）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． (1)在图1中，作出圆心O； (2)在如图2中， 点E是边的中点，连接， 作出的角平分线． 15．如图1，为的直径，为弦，过圆心O作于D，点E为延长线上一点，是的切线． (1)求证：； (2)如图2，取弧的中点P，连接、，若、，求弦的长． 16．如图，是⊙O的直径，四边形内接于⊙O，D是的中点，交的延长线于点E． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，，求的长． 17．如图，等腰内接于，，直径，是圆上一动点，连接，，，交于点 (1)求证： (2)若，求的面积 18．小亮学习了圆周角定理的推论“圆内接四边形对角互补”后，勇于思考大胆创新，并结合三角形的角平分线的性质进行了以下思考和发现： (1)①如图1，四边形是的内接四边形，若，则　　； ②如图2，在中，，分别平分和，，相交于点E，，则 ； (2)小亮根据这个发现，又进行了以下深入研究： 如图3，四边形内接于，对角线是的直径，，点F是弧的中点，求的度数[（1）中的结论可直接用]． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得，而，则，可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理得到是⊙O的切线； （2）连接，根据圆周角定理、邻补角定义求出，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理求出，则，根据弧长计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是⊙O的半径， ∴是⊙O的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、弧长计算公式，熟练掌握切线的判定、圆周角定理、弧长计算公式是解题的关键． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据等边对等角和对顶角相等得到，再根据三角形内角和定理得到，再由直径所对的圆周角是直角即可证明，则是的切线； （2）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的直径，， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，求弧长，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．(1)⊙O的半径长为5 (2)的长为 【分析】（1）连接，设的半径长为r，根据勾股定直接求解即可得到答案； （2）根据勾股定理求出，再根据垂径定理得到，结合勾股定理即可