江苏省楚州中学、新马中学2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题

学科网（北京）股份有限公司 2023-2024 学年楚中、新马高三第一学期期中联考 数学试题 本卷考试时间：150 分钟 总分：150 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 高三数学期中联考试卷参考答案 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D B A C A B 二、多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每个小题给出的选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分） 题号 9 10 11 12 答案 AB AC ACD ABC 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上） 13．3 14． 1 2 15． 5 5 16． ( 1 ln 2，− 四、解答题（本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10分） 解：（1）因为 ( )2 3 n n n a S + = ， 所以当 2≥n 时， ( ) 1 1 1 3 n n n a S − − + = ， 两式相减得，当 2≥n 时， ( ) ( ) 12 1 3 3 n n n n a n a a −+ + = − ， 整理得 ( ) ( ) 11 1n nn a n a −− = + ，即 1 1 1 n na a n n − = − + ， 所以当 2≥n 时， ( ) ( ) 1 1 1 n na a n n n n − = − + ， 所以数列 ( )1 na n n      +   是常数列，且首项 ( ) 1 3 1 1 1 2 a =  + ， 所以 ( ) 3 1 2 na n n = + ， ( )3 1 2 n n n a + = ． …………………5 分 （2）由（1）可知， ( )3 1 2 n n n a + = ，故 ( ) 1 2 2 1 1 3 1 3 1na n n n n   = = −  + +  所以 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 1na a a n n        + + + = − + − + + −       +       2 1 1 3 1n   = −  +  ， 学科网（北京）股份有限公司 由于 *nN ，所以 1 1 1 1n −  + ， 所以 1 2 1 1 1 2 3na a a + + +  ． …………………10 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）因为 2bcosC＝2a－c，结合余弦定理 2 2 2 cos 2 a b c C ab + − = ， 可得 2 2 2 2 2 2 a b c b a c ab + −  = − ，整理得 2 2 2a c b ac+ − = ， 所以 2 2 2 1 cos 2 2 a c b B ac + − = = ． 又 ( )0 πB ， ， 所以 π 3 B = ． …………………5 分 （2）因为△ABC的面积 10 3， 所以 1 sin 10 3 2 AB BC B   = ，即 1 π 5 sin 10 3 2 3 BC   = ， 解得 BC＝8． 在△ABC 中，据余弦定理可得 2 2 2 2 2 π2 cos 5 8 2 5 8 cos 49 3 AC AB BC AB BC B= + −   = + −    = ， 故 AC＝7． 又 D是 BC上靠近点 B的三等分点，故 2ACD ABDS S = ， 所以 1 1 sin 2 sin 2 2 AC AD CAD AB AD BAD   =     ， 故 sin 7 sin 2 10 BAD AC CAD AB  = =  ． ………