1.2常用逻辑用语 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第1章 预备知识 1.2.1 必要条件与充分条件 北师大版必修第一册 观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？ （1）A={1，2}，B={1，2，3} （2）集合A={| 是奇数}，集合B={| 是整数} 可以发现，在（1）（2）中，如果元素属于集合A，那么一定也属于B。 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p可以推导出q，记作：pq， 并且说p是q的充分条件；q是p的必要条件。反之，如果由p不能推导出q，那 么就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件，记作：pq p q 我是你的充分条件 我是你的必要条件 p q 充分条件与必要条件 1 【对充分与必要条件的理解】 ①p是q的充分条件说明pq，而q是p的必要 条件也说明了pq，所以： “p是q的充分条件”和 “q是p的必要条 件”表述的是同一个逻辑关系。 而“p是q的充分条件”只能说明pq， 与q能否推导出p没有任何关系。 ②注意右侧等价的表述方式： 【1】 pq 【2】 p是q的充分条件 【3】 q的充分条件是p 【4】 q是p的必要条件 【5】 p的必要条件是q 充分条件与必要条件 1 1.用符号“”与“”填空。 ① ______ . ②都是偶数 ______ 是偶数. 2.下列说法是否正确？ ①“”是“”的充分条件； ② “”是“”的必要条件 【解】① 或，所以填“”； ②偶数+偶数=偶数，所以填“” 【解】① 当时，左边不能推导出右边，则这种说法错误； ② ，所以，右边可以推导出左边，正确。 【逆命题】将命题“若p，则q”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题： “若q，则p”，这个就是原命题的逆命题。 【充要条件】 一般地，如果p可以推导出q，并且q也可以推导出p，即pq，且有 q p，则相当于pq或者q p，称作q是p的充分必要条件，q也是p的 充分必要条件，简称充要条件 【注意】充要条件是相互的，同时存在的， pq即p和q互为充要条件. 充要条件 2 【注意】p是q的充要条件也可以说成： pq，且qp pq，且qp pq，且qp pq，且qp p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 ①p和q是等价的 ②p成立当且仅当q成立 ③q成立当且仅当p成立 充要条件 2 1.用指出下列各组中p是q的什么条件。 ①p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； 【解】相似不一定全等，pq；全等一定相似，qp， 所以p是q的必要不充分条件 ② p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 【解】矩形的对角线相等， pq ；对角线相等的四边形不一定是矩形， 也可能是等腰梯形等， qp ，所以p是q的充分不必要条件 2.设集合A={1，，-2} ，集合B={2，4}，则“”是“”的 （ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【解】若，则A={1,4,-2}，，满足充分条件要求； 若或，不满足必要条件要求； 所以“”是“”的充分不必要条件，选A A 再 【2】等价法 【1】定义法： （1）分清命题的条件和结论 （2）找推式，判断的真假 （3）根据条件和推式得出结论 将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题 【3】赋值法 对于选择题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明 结论或者推导不成立，但不可用于证明题。 充要条件的判断方法 3 【3】集合法： 列出集合A={|p()}和集合B={|q()} ，利用集合的 包含关系来判断，如图： A B A B B B A A A(B) A⫋B p是q的充分不必要条件 B⫋A p是q的必要不充分条件 A=B p是q的充要条件 AB且BA p是q的既不充分也不必要条件 充要条件的判断方法 3 1.指出下列各组中p是q的什么条件。 ①p:；q: 【解】化简，p:∈{2，3}；q:，则q代表的集合Q是p代表的集合P 的真子集，即Q ⫋ P，所以p是q的必要不充分条件 ②p:四边形的对角线相等；q:四边形是矩形 【解】对角线相等的四边形不一定是矩形，pq； 矩形的对角线相等，qp，所以p是q的必要不充分条件 ①若pq，qs则有ps，即p是s的充分条件; （1）充分条件与必要条件都有传递性，具体如下： ②若sq，qp则有sp，即p是s的必要条件; ③若pq，qs，则有ps，即p是s的充要条