精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉市第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

昌吉市第一中学高二年级12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线l：与圆C：的位置关系是（ ） A 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 3. 在中，是的中点，是中点，则（ ） A. B. C D. 4. 已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（ ） A B. C. D. 或 5. 已知为等差数列的前项和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是公比为等比数列，若，且是与的等差中项，则的值是（ ） A. B. C. D. 或 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题 9. 已知空间中三点则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 在上投影向量的长度为 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 直线的倾斜角为150° D. 与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条 11. 已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的方程是 C. 最小值为2 D. 直线与有两个公共点 12. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 三、填空题 13. 已知向量，，，若，则______． 14. 已知数列满足则___. 15. 圆与圆的公切线方程为__________． 16. 已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是______. 四、解答题: 17. 已知等差数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最小值及取得最小值时的值． 18. 已知直线经过点，且与直线垂直． （1）求直线的一般式方程； （2）已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E点在AD上，且． （1）求证：平面平面PAC； （2）若直线PC与平面PAB所成的角为45°，求二面角的余弦值． 20. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点. （1）求证：； （2）当时，求的值. 21. 已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，的前n项和为，且，，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 22. 已知椭圆的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线直线相切． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线，过右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，过点作，垂足为． ①求证：直线过定点，并求出定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 昌吉市第一中学高二年级12月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线准线方程得到，从而求得其标准方程，由此得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，设抛抛物线的标准方程为， 所以，得，故所求抛物线的标准方程为. 故选：A. 2. 直线l：与圆C：的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 3. 在中，是的中点，是中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，利用平面向量的数乘运算即可