专题3.1 圆（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（北师大版）

专题3.1 圆（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】点和圆的位置关系： 点在圆外，； 点在圆上，； 点在圆内，； 【知识点二】圆心角、弧、弦、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【知识点三】垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【知识点四】圆周角定理： 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【知识点五】直线和圆的位置关系： 直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为，圆的半径为） 相交：直线与圆有两个公共点，； 相切：直线与圆有一个公共点，； 相离：直线与圆无公共点，. 【知识点六】切线定理： 切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定方法： （1）直线与交点个数； （2）直线到圆心的距离与半径关系； （3）切线的判定定理. 【知识点七】切线长定理： 切线长定理：过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线是这两条切线的夹角. 【知识点八】弦切角定理： 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 【知识点九】确定圆的条件： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【知识点十】外心： 外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等. 锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半. 【知识点十一】内心： 内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。 三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2.. 三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则. 直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则. 【知识点十二】相交弦定理： 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 如图1，是的两条弦且交于点，则. 图1 图2 图3 【知识点十三】切割线定理： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 如图2，是的切线，线段交于两点，则. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图3，线段交于两点，交于两点，则. 【知识点十四】正多边形、弧长与扇形面积： 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 【考点目录】 【考点1】圆的对称性➼➼➻圆及其相关概念 【考点2】垂径定理➼➼➻定理的理解及证明与求值 【考点3】圆心角与圆周角➼➼➻利用定理进行证明与求值 【考点4】圆的确定➼➼➻四点共圆及圆的确定条件的理解 【考点5】直线与圆的位置关系➼➼➻切线性质与判定的理解及综合 【考点6】弧长与扇形面积➼➼➻用公式求值与证明 【考点7】正多边形与圆 【考点一】圆的对称性➼➼➻圆及其相关概念 【例1】（2023上·江苏泰州·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，的半径为，一次函数与相交于点． （1）求点的坐标； （2）判断点与的位置关系并说明理由； （3）过点作轴的垂线交于点，将直线沿轴向下平移多少个单位，该直线刚好经过点． 【答案】（1）；（2）点在圆上，理由见分析；（3）8 【分析】（1）联立两条直线的解析式，求解即可； （2）求出的长，与的半径比较大小后，即可得到结论； （3）对称性得到点坐标，设直线沿轴向下平移个单位，经过点，得到平移后的直线的解析式为，代入点坐标，求解即可． （1）解：联立，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵的半径为， ∴点在圆上； （3）如图，过点作轴的垂线交于点，    则：关于轴对称， ∴， 设直线沿轴向下平移个单位，经过点， 则平移后的直线为，把，代入得：； ∴将直线沿轴向下平移8个单位，该直线刚好经过点． 【点拨】本题考查两条直线的