辽宁省六校协作体2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

2023-2024学年度（上）六校协作体高二联考 数学试题 考试时间：120分钟 满分150分 命题校：北镇高中 丹东四中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在三棱锥中，若，则（ ） A. B. C D. 3. 已知圆C与y轴相切于点，且与直线相切，则圆C的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图所示，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ） A. 120 B. 96 C. 72 D. 48 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（ ） A. B. 26 C. 25 D. 23 8. 已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分. 9. 作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为.某同学对情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( ) A. 曲线不经过第三象限 B. 曲线关于直线对称 C. 曲线与直线有公共点 D. 曲线与直线没有公共点 10. 为响应政府部门疫情防控号召.某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是（ ） A. 共有64种不同的安排方法 B. 若地无人去，，两地各有2人去，则共有6种不同的安排方法 C. 每地均有人去，则共有36种不同的安排方法 D. 若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法 11. 如图，长方体中，，，，点M是侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 当PM长度最小时，三棱锥的体积为 B. 当PM长度最大时，三棱锥的体积为 C. 若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为 D. 若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧 12. 已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（ ） A. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 B. 若，则的面积为 C. 若直线过点，则的最小值为 D. 若，则直线恒过定点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13. 在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为_______． 14. 从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有__________种. 15. 已知在一个二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的大小为______. 16. 如图，分别是双曲线右顶点和右焦点，过作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为为坐标原点，若，则的离心率为____． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）解不等式． （2）若，求正整数n． 18. 如图，在四棱锥中，底面直角梯形，，，，平面平面，，，， （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 19. 在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标． 20. 已知双曲线与圆相切，过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切． (1)求双曲线的方程； (2)是圆O上在第一象限的点，过且与圆相切的直线l与的右支交于A、B两点，的面积为，求直线l的方程． 21. 如图1，梯形中，，过分别作，垂足分别为，已知，将梯形沿折起，得空间几何体，如图2． （1）图2中，若，证明：平面． （2）在图2中，若，在线段上求一点，使与平面所成角的正弦值最大，并求出这个最大值． 22. 已知椭圆的两个顶点，且其离心率为．