精品解析：2021年中国科学技术大学强基计划广东地区数学试题

2021年中国科学技术大学强基计划广东地区数学试题 一、填空题 1. 求______． 2. 设抛物线与相切，则______． 3. 写出一个函数______，使得对于任意恒成立． 4. 设空间区域中存在四个点两两距离都是，则最大值为______． 5. 设个人进行互相传球游戏，每个拿球人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为______． 二、解答题 6. 求函数取值范围． 7. 设是正整数，是素数，且整除，证明：整除． 8. 设数列满足，且对任意正整数均有．求通项公式． 9. 设是次实系数多项式，其中．证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021年中国科学技术大学强基计划广东地区数学试题 一、填空题 1. 求______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数加法的几何意义求解. 【详解】注意到， 而我们易得， 所以． 故答案为：． 2. 设抛物线与相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设两抛物线在处相切，显然，由题意可得，求解即可． 【详解】设两抛物线在处相切，显然， 问题等价于由线与在相切， 求导 所以两式相除得， 解得，从而可得． 故答案为： 3. 写出一个函数______，使得对于任意恒成立． 【答案】 【解析】 【分析】利用迭代和换元的思想方法可得结果. 【详解】用表示两次迭代即，则令有， 令有 ， 再令有 ， 这说明任意的都能用的形式表示，所以有，代回原式得到， 故答案为：． 4. 设空间区域中存在四个点两两距离都是，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据区域要求，可将问题转化为求能放进单位半球内的正四面体的棱长最大值再进行求解. 【详解】 由，，即表示区域为单位球在轴的上半部分， 故问题等价于求能放进单位半球内的正四面体的棱长最大值， 不妨设正四面体的顶点为坐标最大的顶点， 我们首先考虑底面在平面上的情形， 此时易得正四面体的高为1， 令边长为，则有， 解得， 当底面不在平面上时， 此时显然有正四面体的高， 进而棱长小于，故的最大值为. 故答案为：. 5. 设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先设第次传球之后，球又回到甲手中的概率为，由题可得，再变形成，构造等比数列即可求出结果. 【详解】不妨记初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为， 表示初始时球在甲手中的概率，易知且次传球传不到甲手上的概率为， 同时球在第次传回甲手中只可能是第次球传到了其余的个人手中然后再传给了甲， 从而有，且， 可变形，又， 所以，整理得， 故答案为：． 【点睛】关键点晴，本题的关键在于，注意到球在第次传回甲手中只可能是第次球传到了其余的个人手中然后在传给了甲，从而有，再构造等比数列求解. 二、解答题 6. 求函数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】令，对求导，得到的单调性，从而求出的值域，再结合三角函数的性质，即可得出答案. 【详解】令，则， 当时，单调递增； 时，单调递减， 则，， 则在时取最小值，在时取最大值． 另一方面，我们注意到时取最小值，在时取最大值． 这说明， 所以. 7. 设是正整数，是素数，且整除，证明：整除． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由二次剩余类的欧拉准则结合反证法证明即可. 【详解】证明：假设不整除，则不整除不整除且不整除， 由二次剩余类的欧拉准则，若不整除， 则， 得到在模意义下有， 而，显然有不能整除， 与假设矛盾，故整除. 8. 设数列满足，且对任意正整数均有．求的通项公式． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，通过观察发现，猜想，再利用数学归纳法即可求出结果. 【详解】因为， ， 又，所以， 而进一步，有， 观察到， 猜测，下面用数学归纳法证明： （1）当时，显然成立； （2）假设当时，有，其中， 则时，， 结论仍成立． 由（1）（2）知，. 【点睛】关键点晴，本题关键在于通过前几项观察猜想得到，再利用数学归纳法即可得到证明. 9. 设是次实系数多项式，其中．证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】借助两个引理：引理1：若有两个根与，其中为实系数多项式且，则存在使得是其导函数的根；引理2：设是实系数多项式的重根，，则也是其导函数的重根；即可证明. 【详解】我们首先证明两个引理． 引理1：若有两个根与，其中为实系数多项式且，则存在使得是其导函数的根； 证明：若在区间有正有负，则由零点存在定理知结论成立； 若不