专题11 瓜豆模型-冲刺2024年中考数学几何专项复习（全国通用）

“瓜豆模型”知识精讲 【模型识别】 并不是题目中有两个动点就是“瓜豆模型”，这两个动点和题目中的一个动点一定始终满足两不变，如图所示； 点O为题目中的定点，A为主动点，B为从动点，在点A、B运动过程中，一定要保证两不变，即（角不变），（比值不变），如此才能是“瓜豆模型”. 【知识梳理】 1 旋转相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。 方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值 一、轨迹之圆篇 例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PAQ是定值)； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量(AP:AQ是定值)． 结论(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ=∠OAM； (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩． 例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ． 考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？ 二、轨迹之线段篇 例1：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 例2：如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ “瓜豆模型”知识精讲 【模型识别】 并不是题目中有两个动点就是“瓜豆模型”，这两个动点和题目中的一个动点一定始终满足两不变，如图所示； 点O为题目中的定点，A为主动点，B为从动点，在点A、B运动过程中，一定要保证两不变，即（角不变），（比值不变），如此才能是“瓜豆模型”. 【知识梳理】 1 旋转相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。 方法：第一步：找主动点的轨迹 ；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值 一、轨迹之圆篇 例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？ 考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2． 结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线， 由Q为AP中点可得：AM=1/2AO． Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP． 考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． 例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1． 即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量(∠PA