新疆昌吉市第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

昌吉市第一中学高二年级12月月考数学试卷 一、单选题 1．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 3．在中，是的中点，是中点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 5．已知为等差数列的前项和，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知数列是公比为的等比数列，若，且是与的等差中项，则的值是（    ） A． B． C． D．或 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．已知空间中三点则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．在上投影向量的长度为 10．下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C．直线的倾斜角为150° D．与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线只有一条 11．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的方程是 C．的最小值为2 D．直线与有两个公共点 12．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 三、填空题 13．已知向量，，，若，则 ． 14．已知数列满足则 . 15．圆与圆的公切线方程为 ． 16．已知点为椭圆上的任意一点，到焦点的距离最大值为，最小值为，则的取值范围是 . 四、解答题 17．（10分）已知等差数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)求的最小值及取得最小值时的值． 18．（12分）已知直线经过点，且与直线垂直． (1)求直线的一般式方程； (2)已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，E点在AD上，且．    (1)求证：平面平面PAC； (2)若直线PC与平面PAB所成的角为45°，求二面角的余弦值． 20．（12分）已知抛物线与直线相交于A、B两点，O为坐标原点. (1)求证：； (2)当时，求的值. 21．（12分）已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，的前n项和为，且，，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 22．（12分）已知椭圆的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线直线相切． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线，过右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆交于两点，过点作，垂足为． ①求证：直线过定点，并求出定点的坐标； ②点为坐标原点，求面积的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】利用抛物线准线方程得到，从而求得其标准方程，由此得解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，设抛抛物线的标准方程为， 所以，得，故所求抛物线的标准方程为. 故选：A. 2．A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 3．B 【分析】结合图形，利用平面向量的数乘运算即可得解. 【详解】如图，是的中点，是中点， 所以. 故选：B. 4．A 【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】解：直线与直线平行， ，解得或， 又，所以， 当时，直线与直线距离为. 故选：A 5．C 【分析】计算，再利用等差数列的求和公式结合等差数列性质解得答案. 【详解】，故，化简得到， . 故选：C. 6．B 【分析】根据已知条件求得双曲线的