上海市虹口区2023-2024学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷

虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学 试卷 2023. 12 考生注意： 1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的 相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知集合 2. 函数的定义域为_________. 3．设等比数列的前项和为，若，，则=_________. 4. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为_________. 5. 在的二项展开式中项的系数为_________. 6. 已知为第三象限的角，则tan2 x = _________. 7．双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为_________. 8．已知函数(,)的部分图像如 ( （第8题图） )右图所示，则=_________. 9. 已知是定义在上的函数，若，且则实数的取值范围为_________. 10. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________.（结果用分数表示） 11.设若关于的方程 有3个不同的实数解，则实数的取值范围为_________. 12.设是平面上两两不相等的向量，若且对任意的均有则________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13.设为虚数单位，若，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 14．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表: 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下: 下列叙述正确的是 （ ） （A）这天中的中位数略大于 （B）10月4日到10月11日，空气质量越来越好 （C）这天中的空气质量为优的天数占% ( （第15题图） )（D）10月上旬的极差大于中旬的极差 15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全 相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美. 如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、 6个面为正方形的一种半正多面体. 若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ） （A）π （B）12π （C）π （D）8 π 16. 已知曲线的对称中心为，若对于上的任意一点，都存在上两点，使得为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”.现有如下两个命题： ① 任意椭圆都是“自稳定曲线”；② 存在双曲线是“自稳定曲线”. 则 （ ） （A）①是假命题，②是真命题 （B）①是真命题，②是假命题 （C）①②都是假命题 （D）①②都是真命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若，，且 //． （1）求角的大小； （2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为正 方形，；设M是CC1的中点，满足， N是BC的中点，P是线段A1B1上的一点. (1) 证明：AM⊥平面A1PN ； (2) 若，求直线AB1与平面PMN 所成角的大小． 19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月