2023年九年级中考数学复习 二次函数与直角三角形存在性问题

二次函数与直角三角形存在性问题 如图 ，在平面直角坐标系中点A坐标为（１，１）,点 B 坐标为（５，３） ， 在 ｘ 轴上找一点Ｃ使得△ABC是直角三角形，求点Ｃ坐标。(注意分情况讨论） 几何法 ： 代数法 ： 斜率法： 构造三垂直 ： 一、对称轴上寻动点 例1、 已知二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象经过 A( － 2，5) ，B( － 1，0) ，与 x 轴交于点 C． ( 1) 求这个二次函数的解析式; ( 2) 在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形? 若存在，直接写出点 Q 的坐标; 若不存在，请说明理由． 方法一： 方法二： 方法三： 1-1.如图，已知抛物线 y = −x 2 + bx + c 与 直 线 AB 相 交 于 A(−3, 0), B(0, 3) 两点. (1) 求抛物线的解析式; (2) 设 C 是抛物线对称轴上的一动点, 求使 ∠CBA = 90◦ 的点C的坐标. 1-2.如图 ，已知抛物线 y＝ａｘ２＋bx+c的对称轴为直线ｘ＝－ｌ，且抛物线与x轴交于A,B两点 ，与y轴交于Ｃ点 ，其中A（１，０） ，Ｃ（０ ，３）． （１） 若直线 y＝ｍx＋n 经过 B,Ｃ两点 ，求直线 BC和抛物线的表达式 ； （２） 在抛物线的对称轴ｘ＝-１上找一点Ｍ，使点Ｍ到点A的距离与到点C的距离之和最小 ，求出点Ｍ的坐标 ； （３） 设P为抛物线的对称轴x ＝-１上的一个动点 ，求使△BPC为直角三角形的点Ｐ坐标 . 备用图 2、 坐标轴上寻动点 例2、如图在平面直角坐标系中，抛物线y＝-x2 +bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C. 且直线y＝x-6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴称，点P是线段OB上一动点， 过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N. （1）求抛物线的函数解析式； （2）当△MDB的面积最大时，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？ 若存在，直接写 出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 备用图 2-1.（云阳县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线得解析式； （2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求此时点P的坐标． （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上确定一点M，使得△ADM是直角三角形，写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 2-2.（郊区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点，直线AB与抛物线的另一个交点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC、CD，判断△BCD是什么特殊三角形，并说明理由； （3）在坐标轴上是否存在一点P，使△BDP为以BD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，说明理由． 备用图 三、抛物线上寻动点 例3、如图在平面直角坐标系中, 抛物线 y = ax2 + 2x + c 与 x 轴交于 A(−1, 0), B(3, 0) 两点, 与 y 轴交于点 C. 点D是该抛物线的顶点。 (1) 求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式; (2) 请在y轴上找一点Ｍ，使△BDM的周长最小 ，求出点Ｍ的坐标 ； (3) 试探究: 在拋物线上是否存在点P, 使以点 A, P, C 为顶点AC为直角边的三角形是直角三角形? 若存在, 请求出符合条件的点 P 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 备用图 3-1.（庄浪县三模）如图：已知二次函数y＝ax2+x+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C，其中B（2，0），C（0，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）P是第一象限抛物线的一个动点，当P点运动到何处时，由点P，B，C构成的三角形的面积最大，求 出此时P点的坐标； （3）若M是抛物线上的一个动点，当M运动到何处时，△MBC是以BC为直角边的直角三角形，求出此时点M的坐标． 四、三垂直构造等腰直角三角形 例4、通过对下面数学模型的研究学习，解决问题. 【模型呈现】 如图，在Rt△ABC,∠ACB=90°,将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD,过点D作DE⊥AC于点E,可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到AC=DE,BC=AE.我们把这个数学模型成为“K型”。 推理过程如下： 【模型迁移】 二次函数y=ax²+bx+c的图像交x轴于点A(-1,0),B(4