2023年九年级中考数学复习练习 二次函数与等腰三角形存在性问题

二次函数与等腰三角形存在性问题 一、等腰三角形的轴对称性 如图所示，△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形．过 点 C 作 CD⊥AB，可得到哪些性质？ 二、画等腰三角形 如图 所示，已知平面内有一条线段 AB，请在平面内找 一点 C，使△ABC 为等腰三角形． 三、对称轴上寻动点 例1、如图 ，抛物线 y = ( x－1) ( x－3) 与 x 轴交于 A，B 两点 ( 点 A 在点 B 的左边) ，与 y 轴交于 M 点，点 D 为抛物线的 对称轴上的点，若△ADM 为等腰三角形，求点 D 的坐标． 1-1.如图,已知抛物线:y=ax 2 -5ax +4与坐标 轴分别交于点A、C ,过点C 作BC ∥x 轴交抛物线 于点C,若AC =BC. (1)试求此抛物线的对称轴; (2)求解该三角形中各个顶点的坐标,并试求 抛物线的解析式; (3)若点P 在抛物线的对称轴上,且是处在x 轴下方的动点.试探讨是否存在点 P 使 △PAB 为 等腰三角形? 若存在则求出对应点P 的坐标;若不 存在,则说明不存在的理由. 1-2.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过 点 A（-1,0），B（3,0），与 y 轴交于点 C，直线 y=x+2 与 y 轴交于点 D，交抛物线与 E， F 两点，点 P 为线段 EF 上一个动点（不与 E，F 重 合），PQ∥y 轴与抛物线交于点 Q。 （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线对称轴上存在点 P，使△MAC 为等 腰三角形，请求出 P 点坐标。 四、坐标轴上寻动点 例2、在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数 y=-x 2+（k-1）x+4 的图像与 y轴 相交于点 A，与 x 轴的负半轴交于点 B，且 S△OAB=6。 （1）求点 A 与点 B 的坐标； （2）求此二次函数的解析式； （3）如果点 P 在 x 轴上，且△ABP 是等腰三角形， 求点 P 的坐标。 （4） 如果点 P 在 y 轴上，且△ABP 是等腰 三角形，求点 P 的坐标。 2-1.如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B． （1）求抛物线解析式； （2）E（m，0）是x轴上一动点，过点E作ED⊥x轴交于点E，交直线AB于点D，交抛物线于点P，连接PB． ①点E在线段OA上运动，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标； ②点E在线段OA上运动，若△PBD是等腰三角形时，求点E的坐标． 五、抛物线上寻动点 例3、如图 4，在平面直角坐标系中，二次函数 y = x2 －3x－4 的 图像交坐标轴于 A( －1，0) ，B( 4，0) ，C( 0，－4) 三点． 1) 在抛物线上是否存在点 P，使△PBC 是以 BC 为底 边的等腰三角形? 若存在，求出点 P 的横坐标; 若不存在， 请说明理由． 方法一： 方法二： ( 2) 在 x 轴上是否存在点 H，使△HBC 是以 BC 为腰的 等腰三角形? 若存在，直接写出点 H 的坐标; 若不存在，请 说明理由． 方法一： 方法二： 3-1.如图，二次函数 y=ax2+bx+c （ a ≠ 0） 的 图像交于点 A（-1,0）、B （3,0）两点，与 y 轴交于 点 C（0,3），D 为抛物线 的顶点。 （1）求此二次函数的表达式； （2）求△CDB 的面积； （3）若对称轴右侧的抛物线上存在点 P，使△PDC 是等腰三角形，此时点 P 的坐标是多少？ 3-2.如图1所示，有一条 经过A、B、C三点的抛物线 y=ax2 -5ax+4，由A、B、C三 点形成的△ABC中，BC⊥ y轴，垂足为C，点A在x轴 上，且BC=AC. （1）求抛物线的对称轴. （2）分别写出△ABC三个顶点的坐标并求抛物线的 解析式. （3）探究：若点P是抛物线的对称轴上在x轴下方的 动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有 符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3-3.问题：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、 C（0，3）。 （1）求抛物线的解析式、对称轴、顶点D的坐标； （2）在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由。 （3）在y轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明 理由； （4） 在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM 为等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存 在，请说明理由； （5） 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点N，使 △CDN 为等腰三角形？若存在，请求出点 N 的坐标； 若不存在，请说明理由。 1 学科网（北京）股份有限公司