4.3.1等比数列的判定及性质（第二课时）2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算； 3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养 01 复习导入 复习回顾 1.等比数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0） 2.等比数列通项公式是什么？ 02 等比数列的性质 新知探究 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们观察图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小从小到大依次排列起来，可以得到一列数： , , , , , .可以知道，这些数构成等比数列. 新知探究 思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么结论吗？ 探究： , , , , , , …这些数构成等比数列.说出9是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律。 可以得到：272=9×81=3×243=1×729 ∴可得到 猜想：等比数列中，已知， l 新知探究 等比数列中，已知，证明 l 证明：∵设等比数列的首项为，公比为，则 ， 而，∴. ， 若是等比数列，公比为，正整数满足， 则.特别地，当时， 新知探究 ① 特别地，当 m+n=2k（）时， ② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 等比中项的推广： 等比数列中，若，则 即：下标和相等，对应项的积相等 新知探究 新知探究 新知探究 练习1.在等比数列{an}中，若a2a8＝9，则a3a7＝(　　)A．3 B．±3 C．9 D．±9 B 解∵2＋8＝3＋7，∴a3a7＝a2a8＝9. 练习2.等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________． 解：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9 ＝－217. 新知探究 新知探究 例2.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1 ＝1，b2 ＝ 5，b3 ＝ 17.求数列{bn}的通项公式． 新知探究 新知探究 例3.已知等比数列 的各项都是正数，且 ， , 成等差数列，则 ( ). A. B. C. D. A 解： ， , 成等差数列， . ，即 ， . ， . . 新知探究 新知探究 03 证明数列为等比数列 新知探究 判断一个数列是等比数列的常用方法　 新知探究 例1.已知数列的首项. (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； l 设，则. 又 所以，是以为首项，9为公比的等比数列. 解(1)：由，，得的通项公式为. (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列 新知探究 l (2)：由，，得. 两边取以3为底的对数，得 所以， 所以，是以为首项，为公差的等差数列. 又 新知探究 思考1：已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等 比数列？ l 证明：∵设等差数列的首项为，公差为，则 . 所以，是以为首项，为公比的等比数列. 新知探究 思考2：已知且，如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ l 证明：∵设各项均为正的等比数列的首项为，公比为，则 . 所以，是以为首项，为公差的等差数列. 新知探究 （1）已知，如果数列是等差数列，那么数列是等比数列. （2）如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是等差数列. 方法总结 04 等比数列的实际应用 新知探究 例1.用 10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ l 解(1)：设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比， ∴ 所以，12个月后的利息为(元). 新知探究 解(2)：设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则是一个是等比数列，首项，公比为，于是 因此，以季度复利计算，存4个季度后的利息为元. 解不等式，得. 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 新知探究 例2.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品