4.3.1等比数列的概念 第2课时等比数列的判定与性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的判定与性质 复习巩固 1.等比数列 q≠0 2. 通项公式 an =a1qn-1 4.等比数列的判断 3. 等比中项 a，G，b成等比数列 =ab 或 G= =q 或=q (n2) q≠0 1.等比数列通项公式的推广和变形an=　　　　　.  2.设数列{an}为等比数列,则: (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则　　　　　　　　.  (2)若m,p,n成等差数列,则　　　　　　　成等比数列.  amqn-m ak·al=am·an am,ap,an 等比数列中常用的性质： 微提醒: (1)性质的推广:若m+n+p=x+y+z,有amanap=axayaz. (2)该性质要求下标的和相等,且左右两侧项数相同. (3)在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项之积都相等,即a1·an=a2·an-1=…. 题型一 等比数列通项公式的推广 　在等比数列{an}中: (1)已知a3+a6=36,a4+a7=18,an=,求n; 例2 [解]　设等比数列{an}的公比为q. (1)由. 再由a3+a6=a3·(1+q3)=36得a3=32, 则an=a3·qn-3=32×, 所以n-8=1,所以n=9. (2)已知a5=8,a7=2,an>0,求an. [解]　(2)由a5=8,a7=a5·q2=2,得q2=. 因为an>0,所以q=, 所以an=a5·qn-5=8×. 与小本P111的T7（1）一样 [解]　(1)在等比数列{an}中,∵a2a4=, ∴,∴a1. 　已知{an}为等比数列. (1)若{an}满足a2a4=,求a1··a5; (2)若an>0,a5a7+2a6a8+a6a10=49,求a6+a8; (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 例3 (2)由等比中项,化简条件得=49,即(a6+a8)2=49,∵an>0,∴a6+a8=7. (3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] =log395=10. 利用等比数列的性质解题 1.充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题. 2.当性质不能应用时,可以通过基本量法求解. 思维提升 2.(多选)已知等比数列满足1+a4a8=2a7,则(　　) A.a1>0　　　　　　　　 B.q≥1 C.a3≤a5 D.a2a4≤a3a5 跟踪训练 ACD 判定与证明等比数列的方法 1.定义法:=　　　　(n∈N*且n≥2,q为不为0的常数).  2.等比中项法:=　　　　　　　　(n∈N*且n≥2).  3.通项公式法:an=　　　　　　　　=·qn=a·qn(a≠0).  q an-1an+1 a1qn-1 知识点1　等比数列的判定与证明 大本例1已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 证明:数列{an+1}是等比数列. [证明]　因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1). 由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0,所以=2(n∈N*), 所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列. 1.数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).证明:数列是等比数列. 跟踪训练 证明:由a1=1,an+1=Sn,得an>0,Sn>0. 由an+1=Sn,an+1=Sn+1-Sn,得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理,得nSn+1=2(n+1)Sn,所以=2·,则=2.因为=1,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列. 知识点3　由等比数列构造新等比数列 1.在等比数列{an}中,每隔k项(k∈N*)取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. 2.若{an}是等比数列,公比为q,则数列{λan}(λ≠0),,{}都是等比数列,且公比分别是q,,q2. 3.若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,那么{anbn}与也都是等比数列,公比分别为　　　和.  pq 微提醒: 在构造新的等比数列时,要注意新数列中是否有为0的项,比如公比q=-1时,连续相邻偶数项的和都是0,故不能构成等比数列. 　已知数列{an}的首项a1=3. (1)若{an}为等差数列,公差d=2,证明数列{}为等比数列; 大本例4 [证明]　(1)由a1=3,d=2,得{an}的通项公式为an=2n+1. 设bn=,则=9.又因为b1=33=27, 所以,{}是以27为首项,9为公比的等比数列. (2)若{an}为等比数列,公比q=,证明数列{log3an}为等差数列. [证明]　(2)由a1=3,q=,得an=3×=33-2n. 两边取以3为底的对数,得log3an=log333-2n=3-2n. 所以log3an+1-log3an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2. 又因为log3a1=log33=1, 所以{log3an}是首项为1,公差为-2的等差数列. 3.(多选)已知数列是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A. C. 跟踪训练 AB 由等比数列构造新的等比数列,一定要检验新的数列中是否有为0的项,主要是针对q<0的情况. 思维提升 4.设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 D 　已知数列,且满足an+1=.证明: (1)数列 为等比数列; 大本例3 第三课时 大本P30 [证明]　(1)由an+1=,得,可得, 由a1=≠0,故-1≠0, 故,所以数列,公比为的等比数列. (2)数列中的任意三项均不能构成等差数列. [证明] (2)设数列的通项为bn,则 bn=·, 设br,bs,bt(r<s<t)为数列中的任意三项,易得br>bs>bt, 若这三项能构成等差数列,只能是2bs=br+bt, 所以2⇒2×3t-s·2s-r=3t-r+2t-r,此式的左边为偶数,右边为奇数, 所以数列中的任意三项均不能构成等差数列. 巩固训练 反思感悟 反思感悟 巩固训练 5.已知{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; 跟踪训练 解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意知 所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. (2)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值. 解:(2)由(1)可得Sn==n(1+n). 因为a1,ak,Sk+2成等比数列, 所以=a1Sk+2, 从而(2k)2=2(k+2)(k+3), 即k2-5k-6=0,解得k=6或k=-1(舍去),因此k=6. aq aq2 aq 探究 三个数或四个数成等比数列的设法 第三课时 大本P29 题型二 三个数或四个数成等比数列的设法 P29 大本P29例题1 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数. [解]　法一:设前三个数分别为,a,aq,则·a·aq=216, 所以a3=216,所以a=6.因此前三个数为,6,6q.由题意知第4个数为12q-6. 所以6+6q+12q-6=12,解得q=.故所求的四个数为9,6,4,2. 大本P29例题1 有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们的和为12,求这四个数. 法二:设后三个数分别为m-d,m,m+d,则m-d+m+m+d=12,所以m=4,因此后三个数为4-d,4,4+d,则第一个数为(4-d)2,由题意知(4-d)2×(4-d)×4=216, 解得4-d=6, 所以d=-2. 故所求的四个数为9,6,4,2. 跟踪训练 2.已知4个数成等比数列,其乘积为1,第2项与第3项之和为-,则这四个数为　　　 　　.  8,-2,,-,,-2,8 知识点2　等比数列的实际应用 　某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值. 大本例2 [解](1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,…,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%), a3=13.5(1-10%)2,…. 由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列, 首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, ∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1, ∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n(万元). (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?(结果精确到0.1) [解]　(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元), ∴用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到8.9万元. 3.在高层建筑中,为了优化建筑结构,减少风荷载影响,设计师可能会将建筑设计成底面楼层高度比较高,随着楼层往上逐步按照等比数列递减的“金字塔”形状,已知某高层建筑共10层,第2层高度为4m,第n层高度记为an m,的等比数列,若第k层高度小于6 m,则k的最小值为(　　) A.6　　　　　　　　　　 B.5 C.4 D.3 跟踪训练 C 4.如图中的三角形称为谢尔宾斯基三角形.每个图都是取前一个图中的每个黑色三角形三边的中点将其分成四个小三角形,并将中间三角形变为白色,白色三角形不变.若第一个三角形的面积为1,第n个图中白色部分的面积记为an, 则an=　 　　　　.  1-(n∈N*) 课堂小结 1.等比数列的性质 (1) an =a1qn-1 (2) an =amqn-m (3) q = (n2) (4) qn-m = (5)若m+n=p+q 则 am· an=ap· aq (6)若m+n=2p 则 am· an=ap2 2.等比数列的证明或判断 (1)定义法 =q (2)利用等比数列的性质判断 方法归纳 判定数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：eq \f(an＋1,an)＝q(q是常数)或eq \f(an,an－1)＝q(q是常数，n≥2)⇔{an}为等比数列． (2)等比中项法：aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列． 例3.在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)． 证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明∵an＋1＝2an＋3， ∴an＋1＋3＝2an＋3＋3＝2(an＋3) 又∵an>0，∴an＋3>0 ∴eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 变式 设数列{an}满足an＋1＝(n∈N*)，其中a1＝1.求证：是等比数列． 证明：∵an＋1＝(n∈N*)， ∴＝＝＝＝2×， ∴是首项为＝＝2，公比为2的等比数列． 1．若三个数成等比数列，可设三个数为，a， 或a，aq， (q≠0)． 2．若四个数成等比数列，可设为，a， ，aq2或，，aq，aq3(q≠0)(第二种设法中，公比为q2)． $$