4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版选择性必修第二册 4.3 等比数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时） 第四章 数列 学习目标 1 2 3 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题 理解并能应用等比数列前 项和的性质，培育逻辑推理、数学运算的核心素养 通过利用等比数列的前 项和公式解 决实际问题，培育数学建模、数学运算的核心素养. 复习回顾 等比数列前n项和公式： 运用公式求等比数列得前n项和时要考虑什么？ 等比数列求和公式的推导采用了什么方法？ 公比是否为1 错位相减法. 基于等比数列前n项和公式，今天继续研究其性质及其应用. 典例分析 [例10] 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列. 解：设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1 , 则a1=25 你能说明理由吗？ 典例分析 (2) 当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和：a1+a2+a3+…+an+…, 新知探究 问题1 在例题最后得出的 是不是可以把Sn看作是关于n的函数？ 如果是的，跟我们学过的哪种类型的函数有关？ 典例分析 问题2 更一般地，等比数列的前n项和有怎样的函数特征？ (1)当q=1时， 是关于n的一次函数. (2)当q≠1时， 即Sn是关于n的一个指数型函数. 结构特点：qn的系数与常数项互为相反数. 学以致用 教材P40 1. 一个乒乓球从1 m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍. (1) 当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1 cm)? (2) 至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400 cm? 典例解析 [例11] 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨). 分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算. 典例解析 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则 =20(1.05+1.052+…+1.05n )(7.5+9+…+6+1.5n) 典例解析 问题3 若设每年以填埋方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{cn}，那么{cn}与{an}、{bn}有什么关系？如何利用数列{an}、{bn}的前n项和去求数列{cn}的前n项和？ 分组求和法 (1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列； (2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn ) (3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn. 课本P40-习题4.3-3(1) 典例解析 [例12] 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 分析: (1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系； (2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式, 通过比较系数,得到方程组； (3)利用(2)的结论可得出解答. 典例解析 [例12] 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 构造等比数 列法求通项 典例解析 [例12] 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 学以致用 教材P40 新知探究 问题4 若{an}是公比为q的等比数列，S偶, S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶, S奇之间有什么关系？ (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1 ＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1) ＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n) ＝a1＋qS偶 S奇＝a1＋qS偶 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1 S偶＝a2＋a4＋…＋a2n ➱ ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ ➱ 能力提升 题型一 等比数列的判断及其前n项和的函数特征 例题 1. 一个等比数列的前 项和 ，则 ( @16@ ) A. B. C. D. B [解析] 设等比数列 <m></m> 的公比为 <m></m> ， 当 <m></m> 时， <m></m> ， 则 <m></m> ，显然与题设不符， <m></m> ，即此等比数列不是常数列， <m></m> ， 则 <m></m> 可得 <m></m> ． 能力提升 题型一 等比数列的判断及其前n项和的函数特征 例题 2.已知等比数列 的前 项和 ，则实数 的值为____. [解析] 设等比数列 <m></m> 的公比为 <m></m> ，由 <m></m> ，得 <m></m> . 当 <m></m> 时， <m></m> ，不合乎题意. 当 <m></m> 时， <m></m> ， 令 <m></m> ，则 <m></m> ， 所以 <m></m> ，解得 <m></m> . 3 能力提升 题型二 等比数列的“奇偶和”性质 例题 3.已知等比数列共有32项，其公比 ，且奇数项之和比 偶数项之和少60，则数列 的所有项之和是( ) D A. 30 B. 60 C. 90 D. 120 [解析] 由题知，又 ， 所以， 解得，， 故数列 的所有项之和是 . 能力提升 题型二 等比数列的“奇偶和”性质 例题 4. 已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数 项之和为10，则这个等比数列的项数为( ) A A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 [解析] 设等比数列的公比为，则 ， 又数列 的项数为奇数，且其奇数项之和为21，偶数项之和为10， 则， 故 . 课堂小结 1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征： 当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数. 当q≠1时， 即Sn是n的指数型函数. (1)若等比数列{an}的项数有2n项，则 (2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则 S奇＝a1＋qS偶 ⇔ S偶＝qS奇 ⇔ 2.等比数列的S奇与S偶之间的关系： 3.求和的方法 分组求和法、错位相减法