圆锥曲线综合巩固（一）设线解点、设点解线、韦达定理法及应用讲义-2024届高三数学一轮复习

圆锥曲线综合巩固（一） 第1讲：设线解点方法及应用 一．基本原理 利用直线与曲线方程联立去解点坐标，解出与目标结构有关的点的坐标从而求解相关问题，是解析几何中最朴素的想法之一. （i）比如在处理斜率问题时，根据斜率的定义，不重合的两点，则.所以我们在解决与斜率有关的问题时，第一个最朴素的想法就是解点，然后利用斜率公式解决. （ii）在比如处理的面积问题时，，也可通过点的坐标来表示. 第2讲：设点求线方法及应用 设点坐标，表示直线方程. 以下是常见的设点形式：若 第3讲：韦达定理及经典应用 一．基本原理 1.斜率和（积）构造与韦达定理 目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点.倘若定点，在椭圆上的动点，那么： （1）.，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解. （2）.,这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作. 当然，对于交叉项的处理亦可通过其他方法来完成，在后续设点法中介绍. （3）.. （4）.面积计算 ①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）（直线为斜截式y=kx+m） == ②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 二．典例分析 例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 变式：已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点. （1）求面积的最大值； （2）记直线的斜率分别为，求证：为定值. 例2．已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 例3.已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得恒成立. 例4.已知点在椭圆上,且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的方程. （2）若为椭圆的右顶点,点是椭圆上不同的两点(均异于)且满足直线与斜率之积为.试判断直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆锥曲线综合巩固（一） 第1讲：设线解点方法及应用 一．基本原理 利用直线与曲线方程联立去解点坐标，解出与目标结构有关的点的坐标从而求解相关问题，是解析几何中最朴素的想法之一. （i）比如在处理斜率问题时，根据斜率的定义，不重合的两点，则.所以我们在解决与斜率有关的问题时，第一个最朴素的想法就是解点，然后利用斜率公式解决. （ii）在比如处理的面积问题时，，也可通过点的坐标来表示. 第2讲：设点求线方法及应用 设点坐标，表示直线方程. 以下是常见的设点形式：若 第3讲：韦达定理及经典应用 一．基本原理 1.斜率和（积）构造与韦达定理 目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点.倘若定点，在椭圆上的动点，那么： （1）.，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解. （2）.,这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作. 当然，对于交叉项的处理亦可通过其他方法来完成，在后续设点法中介绍. （3）.. （4）.面积计算 ①一般方法：（其中为弦长，d为顶点到直线AB的距离）（直线为斜截式y=kx+m） == ②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 二．典例分析 例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0． （1）求的斜率； （2）若，求的面积． 解析：（1）法一：（设线与曲线联立解点坐标）设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去得到，根据韦达定理，得 ，故，从而.因为直线的斜率之和为，所以直线的方程为，同理，可得：，. 所以直线的斜率为 法二：（设点法）设，由点都在双曲线上，得 ，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线