上海市金山区2023-2024学年高三上学期质量监控数学试卷

2023学年第一学期质量监控 高三数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，，则 ． 2．在复平面内，若复数对应的点的坐标是，则的共轭复数= ． 3．不等式的解集是 ． 4．双曲线的离心率是 ． 5．已知角、的终边关于原点对称，则 ． 6．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则图中的值为 ． 第6题 图 7．已知某圆台上底面和下底面的半径分别为和，母线长为，则该圆台的高为 ． 8．从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取两个不同的数，则所抽到的两个数的和大于6的概率为__________（结果用数值表示）． 9．已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ． 10．若，则 ． 11．若函数()的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ． 12．已知平面向量、、满足，，且，则的取值范围是 ． 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知、、是实数，则“”是“”的（ ）． （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 14．已知事件和相互独立，且，，则（ ）． （A） （B） （C） （D） 15．如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ）． （A）若，，则 （B）若，，则平面平面 （C）若，，则∥平面第15题 图 （D）若，，则∥ 16．设集合，、均为的非空子集（允许）．中的最大元素与中的最小元素分别记为，则满足的有序集合对的个数为（ ）． （A） （B） （C） （D） 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为与的交点． （1）证明：∥平面； （2）求三棱锥的体积． 第17题 图 18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知数列满足，且． （1）求的值； （2）若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分． 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． 图1 图2 第19题 图 （1）为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． （2）由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到） 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知三条直线（）分别与抛物线交于点、，为轴上一定点，且，记点到直线的距离为，△的面积为． （1）若直线的倾斜角为，且过抛物线的焦点，求直线的方程； （2）若，且，证明：直线过定点； （3）当时，是否存在点，使得，，成等比数列，，，也成等比数列？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”