专题四 圆的综合问题-【中考零距离】2024山东潍坊中考数学配套word文档

山东旭阳教育科技有限公司 中考零距离 专题四 圆的综合问题 例 (2023·福建中考)如图，已知△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC. (1)求证：AO∥BE； (2)求证：AO平分∠BAC. (1)由切线的性质可得∠OAF=90°，由圆周角定理可得∠CBE=90°，即∠OAF=∠CBE=90°，再根据平行线的性质可得∠BAF=∠ABC，则根据角的和差可得∠OAB=∠ABE，最后根据平行线的判定定理即可解答. (2)由圆周角定理可得∠ABE=∠ACE，再由等腰三角形的性质可得∠ACE=∠OAC，进而得到∠ABE=∠OAC，再结合∠OAB=∠ABE得到∠OAB=∠OAC即可证明结论. 【自主解答】 针对训练 1.(2023·烟台中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,⊙O经过A,D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG=GD. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5∶8，求tan∠ADB的值. 2.(2023·怀化中考) 如图，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，C为⊙O上的一点.连接PC，AC，OC，且PC=PA. (1)求证：PC为⊙O的切线； (2)延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD·OC=PA·OD； (3)若∠CAB=30°，OD=8，求阴影部分的面积. 3.(2023·威海中考)已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON于点D，E，连接AB，AC，AD. (1)如图①，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由. (2)如图②，过点C作CF⊥OM，交OP于点F，过点D作DG⊥ON，交OP于点G.求证：AG＝AF. 4.(2023·日照中考)在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆.请应用此结论，解决以下问题： 如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(60°＜α＜180°).D是BC边上的一动点(点D不与B，C重合)，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转α到线段AE，连接BE. (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图②，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； (3)已知α＝120°，BC＝6，M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值. 5.(2023·河北中考)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50 cm，如图①和②所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH. 计算：在图①中，已知MN=48 cm，作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长. 操作：将图①中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图②.其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D. 探究：在图②中, (2)操作后水面高度下降了多少？ (3)连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东旭阳教育科技有限公司 中考零距离 专题四 圆的综合问题 【例】证明：(1)∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF=90°. ∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE=90°,∴∠OAF=∠CBE=90°. ∵AF∥BC，∴∠BAF=∠ABC，∴∠OAF－∠BAF=∠CBE－∠ABC，即∠OAB=∠ABE， ∴AO∥BE. (2)∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角， ∴∠ABE=∠ACE. ∵OA=OC，∴∠ACE=∠OAC，∴∠ABE=∠OAC. 由(1)知∠OAB=∠ABE，∴∠OAB=∠OAC，∴AO平分∠BAC. 针对训练 1.(1)证明：如图，连接OA，∵AG=GD，由垂径定理知OF⊥AD， ∴∠OGA=∠FGA=90°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠GAF=∠BAF， ∴∠GAF+∠AFG=90°=∠BAF+∠AFG. ∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA， ∴∠OAF+∠BAF=∠OAB=90°. 又∵OA为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线. (2)解：设AG=GD=4a， ∵⊙O的半径与菱形的边长之比为5∶8， ∴在Rt△OAG中，OA∶AG=5∶4， ∴OA=5a，OG==3a，∴FG=OF－OG=2a. ∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，即∠DEA=90°=∠FGA， ∴∠ADB=∠AFG，∴tan∠ADB=tan∠AFG===2. 2.(1)证明：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°. 如图，连接PO， 在△PAO与△PCO中，