专题三 反比例函数综合问题-【中考零距离】2024山东潍坊中考数学配套word文档

山东旭阳教育科技有限公司 中考零距离 专题三 反比例函数综合问题 例 (2023·安徽中考改编)如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C. (1)求k的值； (2)D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，求OB2－BD2的值. (1)根据已知条件得出A,B的坐标，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出点C的坐标，进而即可求解. (2)根据题意，求出直线AC,BD，联立直线BD与反比例函数解析式，得出点D的坐标，进而根据两点间的距离公式求得OB2，BD2，进而即可求解. 【自主解答】 针对训练 1.(2023·衡阳中考)如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点A. (1)求点A的坐标； (2)分别以点O，A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D，求线段OD的长. 2.(2023·株洲中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A，C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A(t,0)，点P(1,2)在函数y=(k>0，x>0)的图象上. (1)求k的值； (2)连接BP，CP，记△BCP的面积为S，设T=2S－2t2，求T的最大值. 3.(2023· 泸州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2. (1)求k，m的值； (2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东旭阳教育科技有限公司 中考零距离 专题三 反比例函数综合问题 【例】解：(1)∵AB=2,∠AOB=30°，∠OAB=90°， ∴OA=2,OB=2AB=4， ∴A(2,0),B(2,2). ∵C是OB的中点， ∴C(,1). ∵反比例函数y=(k>0)的图象经过斜边OB的中点C， ∴k=. (2)∵A(2,0)，C(,1)，设直线AC的解析式为y=kx+b， ∴解得 ∴直线AC的解析式为y=－x+2. ∵DB∥AC，设直线BD的解析式为y=-x+b， 将点B(2,2)代入y=-x+b,解得b=4， ∴直线BD的解析式为y=－x+4. ∵反比例函数的解析式为y=，联立 解得或 当时， BD2=(2+3－2)2+(2－2+)2=9+3=12;当时， BD2=(2－2+3)2+(2+－2)2=9+3=12.∵OB2=(2)2+22=16，∴OB2－BD2=4. 针对训练 1.解：(1)解方程组得或 ∵x>0，∴A(3,4). (2)由题意可得CD垂直平分OA，如图，连接AD， 则AD=OD. 设点D为(m,0)，则m2=(m－3)2+42，解得m=， ∴OD=. 2.解：(1)∵点P(1,2)在函数y=(k>0，x>0)的图象上， ∴2=，∴k=2. (2)∵点A(t,0)在x轴负半轴上，∴OA=－t. ∵四边形OABC为正方形，∴OC=BC=OA=－t，BC∥x轴， ∴△BCP的面积S=×(－t)×(2－t)=t2－t， ∴T=2S－2t2=2 －2t2=－t2－2t=－(t+1)2+1. ∵－1<0，∴抛物线开口向下， ∴当t=－1时，T有最大值，T的最大值是1. 3.解：(1)∵OA=1，∴A(－1，0). ∵直线l:y=kx+2经过点A(－1，0)， ∴0=－k+2，解得k=2，∴直线l的解析式为y=2x+2. ∵点C的横坐标为2，∴y=2×2+2=6，∴C(2，6). ∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点C，∴m=2×6=12. (2)由(1)得反比例函数的解析式为y=. 在y=2x+2中，令x=0，得y=2×0+2=2，∴点B(0，2). 设点D(a，2a+2)，则点E . ∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∴DE=OB=2， ∴ =2，整理得2a+2－=2或2a+2－=－2， 由2a+2－=2，得2a2+2a－12=2a， 整理得a2=6，解得a=±. ∵a>0，∴a=，∴点D(，2+2). 由2a+2－=－2,得2a2+2a－12=－2a， 整理得a2+2a－6=0，解得a=±－1. ∵a>0，∴a=－1，∴点D(－1，2). 综上所述，点D的坐标为(，2+2)或(－1，2). ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$