精品解析：北京市朝阳区北京中学2023-2024高二上学期12月月考数学试题

2023—2024学年度第一学期12月月考 高二年级数学试卷 本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 一.选择题（共10个小题，每个小题4分，共40分）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ） A B. 3 C. 9 D. 36 6. 已知曲线在点处的切线经过点(0，－1)，则的值为(　　) A. B. 1 C. e D. 10 7. 已知点，，，则“是等边三角形”是“直线的斜率为0”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 古典吉他的示意图如图所示．分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝．记为与的距离，为与的距离，且满足，其中为弦长（与的距离），为大于1的常数，并规定．则（ ） A. 数列是等差数列，且公差为 B. 数列是等比数列，且公比为 C. 数列是等比数列，且公比为 D. 数列是等差数列，且公差为 10. 已知双曲线C：（，）左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，．以线段为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，与另一条渐近线平行．若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二.填空题，每个小题5分，共25分. 11. 已知直线，．若，则实数的值是_______． 12. 已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式________；数列的前9项和的值为__________. 13. （2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________． 14. 已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________． 15. 已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论： ①四棱锥可能正四棱锥； ②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点； ③可能有平面平面； ④四棱锥的体积的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是__________. 三.解答题，共6个小题，共85分. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求证：平面. 17. 已知曲线与轴交于不同两点（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点． （1）若为等腰直角三角形，求的面积； （2）记的面积为，求的最大值． 18. 已知椭圆的离心率是. （1）求椭圆的方程； （2）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线，分别交轴于不同的两点.如果为锐角，求的取值范围. 19. 已知函数，且． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）设实数满足：存在，使直线是曲线的切线，且对恒成立，求的最大值． 20. 已知椭圆W：的焦距为4，短轴长为2，O为坐标原点． （1）求椭圆W的方程； （2）设A，B，C是椭圆W上的三个点，判断四边形OABC能否为矩形？并说明理由． 21. 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义． （1）若，写出的值； （2）若，求； （3）设求证：对任意无穷数列，存在数列，使得为常数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第一学期12月月考 高二年级数学试卷 本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将条形码贴在答题卡规定处，并将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 一.选择题（共10个小题，每个小题4分，共40分）. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的运算即可求解. 【详解】集合包含所有小于2的实数，包含1和2两个元素，所以， 故选：B. 2. 双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线确定，再计算离心率即可. 【详解】双曲线：的一条渐近线方程为，故， 双曲线的离心率. 故选：