7.5 三角形内角和定理 第1课时 课件 -2023-2024学年北师大版数学八年级上册

第1课时 7.5 三角形内角和定理 第七章 平行线的证明 1 一、学习目标 1.经历证明三角形内角和定理的过程，能简单应用该定理． 2.对比过去拼纸等探索过程，体会实验和数学符号的作用，增强观察、猜想、推理论证等能力． 二、新课导入 回顾： 三角形的内角和等于多少？ 三角形内角和等于180° 在前面的课程中，通过拼接我们能发现三角形的三个内角拼到一起 恰好构成一个平角. 但是测量有误差，而且三角形有无数个，我们不可能用上述方法进 行一一验证.那有没有更加合理的方法证明呢？ 三、概念剖析 思考：在操作过程中, 我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 通过添加与底边边平行的直线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论． B C A l 三、概念剖析 已知：△ABC ， 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 首先我们要写出已知和求证；如下： A B C 三、概念剖析 证法一： 如图过A作EF∥BC. ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换） F 2 1 E A B C 三、概念剖析 证法二： 如图延长BC到D，过C作CE∥BA. ∴∠A=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行,同位角相等) ∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠BAC=180°（等量代换） E 2 1 D A B C 三、概念剖析 思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线. 在平面几何里，辅助线通常画成虚线. E 2 1 D A B C 辅助线 四、典型例题 例1.补充证明.已知：△ABC ，求证:∠BAC+∠B+∠C=180°. 如图过A作AE∥BC. ∴∠B=∠1 (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) ∵∠EAC=∠1+∠BAC，∠B=∠1，∠EAC+∠C=180°. ∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换） 1 E A B C 证明： 总结：为了证明三个角的和为180°,还可将三个内角转化为同旁内角. 三、典型例题 例2.在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°， 从而有3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 【当堂检测】 2.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60° ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 3.在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 【解析】根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 比例关系可考虑用方程思想求角度. 【当堂检测】 【当堂检测】 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. 三、典型例题 例3.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.