清单04 指数与对数（6个考点梳理+题型解读+提升训练）-2023-2024学年高一数学上学期期末考点大串讲（苏教版2019）

清单04 指数与对数（6个考点梳理+题型解读+提升训练） 【知识导图】 【考点分布图】 【知识清单】 知识点一、整数指数幂的概念及运算性质 1、整数指数幂的概念 2、运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 知识点二、根式的概念和运算法则 3、次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． 4、两个等式 （1）当且时，； （2） 知识点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 知识点四、有理数指数幂的运算 5、有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． 知识点五、对数概念 6、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 7、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 8、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 9、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 知识点六、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点七、对数公式 10、对数恒等式： 11、换底公式 【考点精讲】 考点1：根式的化简与求值 例1．（2023·江苏连云港·高一江苏省板浦高级中学校考期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 例2．（2023·高一课时练习）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，即， 所以. 故选：B 例3．（2023·高一课时练习）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，则有，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 例4．（2023·浙江温州·高一瓯海中学校考阶段练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， ，， ， . . 又，， ，. 故选：D 例5．（2023·江西南昌·高一校联考阶段练习）若，，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，， 则， 所以的值为1. 故选：A 例6．（2023·内蒙古呼和浩特·高二校考期末）化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】依题意. 故选：C. 考点2：指数幂的化简与求值 例7．（2023·重庆云阳·高一重庆市云阳凤鸣中学校校联考阶段练习）（1）计算：． （2）用分数指数幂表示并计算：． 【解析】（1）原式． （2）． 例8．（2023·广东深圳·高一校考期中）计算下列各式的值． (1) (2)已知求的值． 【解析】（1）原式； （2），等号两边同时平方，得， 所以. 例9．（2023·河北唐山·高一统考期中）化简求值： (1)； (2)若，求的值. 【解析】（1） . （2）， . 例10．（2023·天津和平·高一天津市双菱中学校考期中）计算或化简下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1）易知 ； （2）由题意可知：，则 . 例11．（2023·福建莆田·高一莆田一中校考期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【解析】（1）原式. （2）由，得， 所以． 例12．（2023·广东汕头·高一金山中学校考期中）若，求下列各式的值： (1)； (2) 【解析】（1）因为，所以，解得； （2）因为，所以， 因为，所以. 所以. 例13．（2023·陕西安康·高一统考期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【解析】（1） （2），所以， ，． 考点3：对数的概念与性质 例14．（2023·全国·高一专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， . 故选：D. 例15．（2023·四川巴中·高一统考期中）已知，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D 例16．（2023·贵