上海市杨浦区2023-2024学年高三上学期模拟质量调研数学试题

杨浦区2023学年度第一学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷 2023.12. 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上. 2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1．已知全集为,集合，则的补集可用区间表示为__________． 2．若复数满足（其中为虚数单位），则__________． 3．若，则_________． 4. 函数的最小值为_________． 5. 等差数列中，若，，则的前10项和为__________． 6. 若椭圆长轴长为4，则其离心率为__________． 7．已知向量，，则在方向上的投影为__________． 8. 甲和乙两射手射击同一目标，命中的概率分别为和，两人各射击一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少一人命中目标的概率为__________． 9. 已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为__________． 10. 函数 在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对__________． 11. 已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，．若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程为__________． 12.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四面体中“鳖臑”的个数是__________． 二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.已知实数满足，则下列不等式恒成立的是 （ ） A．； B． ； C．； D．. 14．在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为、、…、；乙运动员的成绩为、、…、，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是 （ ） A．甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定； B．甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定； C．甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定； D．乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定. 15．等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是 （ ） A．； B．； C．； D．. 16．函数满足：对于任意都有，（常数，）．给出以下两个命题：① 无论取何值，函数不是上的严格增函数；② 当时，存在无穷多个开区间，使得，且集合对任意正整数都成立，则（ ） A．①②都正确； B．①正确②不正确； C．①不正确②正确； D．①②都不正确. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形． （1）求证：平面⊥平面； （2）设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数． （1）求方程的实数解； （2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等 且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面．雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）． （1） 挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知 米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧. 请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； （2）小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值． ( 图 1 ) 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知双曲线，是双曲线上一点． （1）若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； （2）设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； （