上海市徐汇区2024届高三上学期一模数学试卷

2023学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三数学 试卷 2023.12 考生注意: 1. 本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分. 2. 每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,答卷前,在答题卷上填写姓名、考号等 相关信息. 3. 所有作答务必填涂在答题卷上与试卷题号对应的区域,不得错位,在试卷上作答一律 不得分. 4. 用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知全集,集合,则_. 2. 不等式的解集是_. 3. 已知直线经过点,则直线倾斜角的大小为_. 4. 若实数满足,则的最小值为_. 5. 某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛,成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为,若该校的学生总人数为1000,则成绩低于60分的学生人数为_. 6. 函数的零点是_. 7. 已知,则_. 8. 要排出高一某班一天上午5节课的课表,其中语文、数学、英语、艺术、体育各一节,若要求语文、数学选一门第一节课上,且艺术、体育不相邻上课,则不同的排法种数是_. 9. 在中,,为边上的点,且,设,则=_. 10. 某建筑物内一个水平直角型过道如图所示,两过道的宽度均为米,有一个水平截面为矩形的设备需要水平通过直角型过道.若该设备水平截面矩形的宽为米,则该设备能水平通过直角型过道的长不超过_米. 11. 已知一个棱长为的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动,若圆锥的底面半径为3,母线长为6,则实数的最大值为_ . 12. 已知函数,其中,存在实数 使得 成立,若正整数的最大值为8,则实数的取值范围是_. 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设,则“中至少有一个虚数”是“为虚数”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 跳水比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分,得到5个有效评分.5个有效评分与7个原始评分相比,一定不变的数字特征是 ( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 15. 已知集合,若对于任意,总存在与之相应的(其中),使得成立,则称集合是“集合”. 下列选项为“集合”的是( ) A. B. C. D. 16. 已知数列为无穷数列.若存在正整数,使得对任意的正整数,均有,则称数列为“阶弱减数列”.有以下两个命题:①数列为无穷数列且(为正整数),则数列是“阶弱减数列”的充要条件是;②数列为无穷数列且(为正整数),若存在,使得数列是“阶弱减数列”,则.那么( ) A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①､②都是真命题 D.①､②都是假命题 三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 已知等差数列的前项和为,,. (1)求数列的通项公式; (2)若等比数列的公比为,且满足,求数列的前项和. 18. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 如图,某多面体的底面为正方形, ,,,,. (1)求四棱锥的体积; (2)求二面角的平面角的正弦值. 19. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备. 如图所示,在某项运动赛事扇形场地中,,米,点是弧的中点,为线段上一点(不与点,重合).为方便机器狗运输装备,现需在场地中铺设三条轨道,,.记,三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数,并写出的取值范围; (2)当三条轨道的总长度最小时,求轨道的长. 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知双曲线的离心率为. (1)若,且双曲线经过点,求双曲线的方程; (2)若,双曲线的左、右焦点分别为,焦点到双曲线的渐近线的距离为, 点在第一象限且在双曲线上,若=8,求的值; (3)设圆,. 若动直线与圆相切,且与双曲线 交于时,总有,求双曲线离心率的取值范围. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 若函数的导函数是以为周期的函数,则称函数具有“性质”. (1)试判断函数和是否具有“性质”,并说明理由; (2)已知函数,其中具有“性质”,求函数在上的极小值点; (3)若函数具有“性质”,且存在实数使得对任