第二部分 专题一 证明三角形全等的基本思路-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 专题一 证明三角形全等的基本思路 利用两个三角形全等,能够证明若干线段 或角相等有关的几何问题.那么,对于我们所要 考虑的两个三角形,如何证明它们全等呢? 一般来讲,应根据题设并结合图形,先确 定两个三角形已知相等的边或角,然后按照 判定公理或定理,寻找并证明还缺少的条件. 其基本思路是: 1. 有两边对应相等,找夹角对应相等, 或第三边对应相等.前者利用SAS判定,后 者利用SSS判定. 思路1 找已知两边的夹角对应相等, 利用“SAS”探索. 例1 已知:如图,AB=AC,AE=AD, 点D、E 分别在AB、AC 上.∠B 与∠C 相等 吗? 为什么? 解析 欲知∠B=∠C,应探索△CAD ≌△BAE.由于已有AB=AC,AE=AD,找 一找是否对应边的夹角∠CAD=∠BAE. 它们 是 公 共 角.所 以△CAD≌△BAE,故 ∠B 与∠C 相等. 思路2 找第三边对应相等,利用“SSS” 探索. 例2 “三月三,放风筝”.如图是小明制 作的风筝.他根据 DE=DF,EH=FH,不 用度量,就知道∠E=∠F.请你用所学的知 识给予证明. 解析 欲知∠E=∠F,应探索△DEH ≌△DFH,为此连接 DH.由于已有 DE= DF,EH=FH,找一找是否第三边 DH= DH.由于它们是公共边,故成立. 2. 有两角对应相等,找夹边对应相等, 或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA 判定,后者利用AAS判定. 例3 如图,在△ABC 中,∠B=∠C, 说明AB=AC. 解析 作∠BAC 的平分线AD,交 BC 于点D,由∠BAD=∠CAD,∠B=∠C,再 找 出 ∠B 和 ∠C 的 对 边 AD =AD,得 △ABD≌△ACD(AAS),所以AB=AC. 另外,当有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等.利用 AAS判定.当有一 边和该边的邻角对应相等,找夹角的另一边 对应相 等,或 另 一 角 对 应 相 等.前 者 利 用 SAS判定,后者利用AAS判定. 24 第 二 部 分 专 题 选 讲 1. (湖北黄冈中考题)已知,如图所示, AB=AC,BD =CD,DE⊥AB 于 点 E, DF⊥AC 于点F,求证:DE=DF. 2. 如图,已知AB=DC,DB=AC. (1)求证:∠ABD=∠DCA.注:证明过 程要求给出每一步结论成立的依据; (2)在(1)的证明过程中,需要作辅助线, 它的意图是什么? 3. 如图,在四边形ABCD 中,DE∥AB 交BC 于点E,AF∥DC 交BC 于点F(点E 在点F 左侧),BE=CF. (1)求证:△ABF≌△DEC; (2)当 BE =EF,AD =3 时,求 BC 的长. 4. 已知△ABN 和△ACM 位置如图所 示,∠B=∠C,AD=AE,∠1=∠2.求证: ∠M=∠N. 34 ∴a2+b2=c2 或a=b 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 第十五章测试 一、 1. C 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. D 9. B 10. D 二、 11. ≠2 12. 答案不唯一,如:a b+3 13. 3-4x x2-x+3 14. 1 x(x+1) 15. 3 16. 12 7 17. 1 18. 3(x-3),3(3 -x) 19. 1487 x - 1487 x+70=3 三、 20. 解:(1)原式= 12 (m-3)(m+3)- 2(m+3) (m-3)(m+3) = 12-2m-6 (m-3)(m+3)= 6-2m (m-3)(m+3) = -2(m-3) (m-3)(m+3)=- 2 m+3 ; (2)原式= 2x2y 3mn2 × 5m2n 4xy2 × 3n 5xym= 1 2y2 . 21. 解:原 式= x2-4 x-2× 1 x2+2x = (x+2)(x-2) x-2 × 1 x(x+2)= 1 x 当x=1时,原式=1. 答案不唯一,x 可以取除0,2,-2以外的数. 22. 解:(1)由 题 意 可 知 A= a2-b2 a2+4ab+4b2 ·a+2b a+b = a-b a+2b ; (2)当a=4,b=3时, A= 4-3 4+2×3= 1 10. 23. 解:由题意得2x+2 3x-5=4 ,解得x= 11 5. 经检验x= 11 5 是原方程的解. ∴x 的值为 11 5. 24. 解:去分母,得3x=a(x-2)+4,∴(3-a)x=4- 2a, ∴ x= 4-2a 3-a , (