第二部分 专题四 整体思想在分式求值中的应用&专题五分式求值有巧法-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题四 整体思想在分式求值中的应用 例1 若分式 2 2y2+3y+7 的值为1 4 ,则 1 4y2+6y-1 的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. - 1 7 D. 7 解析 由观察可以发现,已知分式中的 2y2+3y 与所求式中的4y2+6y 有联系,可 以将所给条件进行适当变形,就可得到4y2 +6y,然后整体代入即可求得所求式的值. 由已知 2 2y2+3y+7 = 1 4 得2y2+3y+7 =8,2y2+3y=1,4y2+6y=2, 所以 1 4y2+6y-1 = 1 2-1=1 ,故选A. 例 2 已 知 1 a + 1 b = 4 ,则 4a+3ab+4b -3a+2ab-3b= . 解析 由已知可得到a+b与ab的关系 式,所求式通过分解因式可得到用a+b 与 ab表示的表达式,然后将a+b 用ab 代换即 可求出所求式的值. 由已知得 a+b ab =4 ,∴a+b=4ab, 4a+3ab+4b -3a+2ab-3b = 4(a+b)+3ab -3(a+b)+2ab = 4·4ab+3ab -3·4ab+2ab=- 19 10. 例3 已知 1 a+ 1 b= 1 6 ,1 b+ 1 c= 1 9 ,1 a+ 1 c= 1 15 ,求 abc ab+ac+bc 的值. 解析 将所求式分子、分母同除以abc 可得到 1 1 a+ 1 b+ 1 c ,故只要将已知式变换出 1 a+ 1 b+ 1 c 即可.因为 1 a+ 1 b= 1 6① ,1 b+ 1 c= 1 9② ,1 a+ 1 c= 1 15③ ,将①、②、③左、右分别 相加,得21a+ 1 b+ 1 c =16+19+115,所以1a + 1 b + 1 c = 31 180 ,所 以 abc ab+ac+bc = 1 1 c+ 1 b+ 1 a = 180 31. 1. 如果x+ 1 x=2 ,则 x 2 x4+x2+1 的值是 多少? 2. 已 知 a a2-a+1 =7,求 a2 a4+a2+1 的值. 74 第 二 部 分 专 题 选 讲 专题五 分式求值有巧法 根据所给条件求分式的值,是分式这部 分内容中的一个重点.一般的题目可采用先 化简、后求值的方法,但对于一些特殊情况, 若采用适当的方法,就会收到事半功倍的 效果. 一、 巧设k值 例1 已知 x 2= y 3= z 4 ,求x 2-2y2+3z2 xy+2yz+3xz 的值. 解析 本题有多元比例关系,可引进辅 助未知数(即参数)k,使之转化为一元的问 题,最后消掉k 而得解,体现了通过设中间量 来达到化简求值的目的. 设 x 2= y 3= z 4=k ,则x=2k,y=3k, z=4k. 原式= (2k)2-2(3k)2+3(4k)2 (2k)(3k)+2(3k)(4k)+3(2k)(4k) = 34k2 54k2 = 17 27. 点评 在解答有关含有比例式的题目 时,设参数(辅助未知数)求解是一种常用的 方法. 二、 巧用整体思想 例2 已知 1 a- 1 b=3 ,求2a+3ab-2b a-2ab-b 的值. 解析 本例可以将已知条件变形,得到 a-b=-3ab,然后代入原式即可. 由 1 a- 1 b=3 ,可以得到a-b=-3ab, 把它们代入 2a+3ab-2b a-2ab-b ,得 原 式 = 2(a-b)+3ab (a-b)-2ab = -6ab+3ab -3ab-2ab = 3 5. 点评 本例也可以将要求的分式的分子 与分母根据分式的基本性质都除以ab,然后 借助已知条件求得,请同学们自己完成. 三、 巧取倒数 例3 已知 ab a+b= 1 3 ,bc b+c= 1 4 ,ac a+c= 1 5 ,求 abc ab+ac+bc 的值. 解析 本 题 把 已 知 条 件 取 倒 数,可 得 1 a+ 1 b ,1 b+ 1 c ,1 a+ 1 c 的值,把所要求值的分 式取倒数可以化成 1 a+ 1 b+ 1 c 的分式,从而 达到解决问题的目的. 将已知条件的两边分别取倒数,得 a+b ab =3 b+c bc =4 , a+c ac =5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即 1 a+ 1 b=3① , 1 b+ 1 c=4② , 1 a+ 1 c=5③. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (①+②+③)÷2,得 1 a+ 1 b+ 1 c=6. 把 求值式取倒数化简为 1 c+ 1 b+ 1 a. 所以 abc ab+ac+bc= 1 6. 点评 在进行某些