第二部分 专题六 构造全等三角形巧解数学题&专题七用多边形的外角和定理解题-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题六 构造全等三角形 巧解数学题 全等三角形是中学数学的重要内容之 一,在解题中有着极其广泛的应用.然而在许 多题目中,给定的题设条件及图形并不具有 明显的全等条件,这就需要我们根据已有的 知识经验,认真分析,仔细观察,依据图形的 结构特征,通过添加适当的辅助线,巧妙地构 造出全等三角形,迅速找到解题途径,会使问 题迎刃而解.确实有“山重水复疑无路,柳暗 花明又一村”的感觉.现举例如下,供同学们 参考. 一、 遇见倍长、倍角用平分 采用平分边(或角)的方法,构造出全等 的三角形.然后利用所学的知识来解决问题. 例1 如图,在△ABC 中,∠B=2∠A, AB=2BC.求证:AC⊥BC. 解析 作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 因为∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1= 2∠2,所以∠A=∠1=∠2, 即△ABD 为等腰三角形. 再取AB 中点E,连接DE,根据等腰三 角形的性质,可以得到DE⊥AB. 在△BDE 和△BDC 中,BE= 1 2AB= BC,∠1=∠2,BD=BD, 所以△BDE≌△BDC, 由 全 等 三 角 形 的 对 应 角 相 等,得 到 ∠BCD=∠BED=90°,即AC⊥BC. 点评 本题证明的是垂直关系,由题目 中不知任何角的度数,但由已知条件中有边、 角的倍数关系,通过平分构造出等腰三角形 和全等三角形从而使问题得到解决. 二、 遇见角的平分线,构成等腰三角形 有角的平分线又有高,想到可以构成等 腰三角形. 例2 如图,等腰Rt△ABC 中,∠A= 90°,∠B 的平分线交AC 于点D,过C 作BD 的垂线交 BD 的延长线于点E.求证:BD =2CE. 解析 延长CE,BA 交于点F,因为BE 平分∠CBF,BE⊥CF,所以△BCF 为等腰 三角 形,因 为∠FBE=∠CBE,BE⊥CF, CE=EF,所 以 E 是CF 的 中 点,即 CF= 2CE.在Rt△ABD 和Rt△ACF 中,∠BAD =∠CAF=90°,AB=AC,∠ABD=90°- ∠F=∠ACF,所以Rt△ABD≌Rt△ACF, 所以BD=CF=2CE. 点评 本题证明的两边存在两倍的关 系,由于不在一个三角形中,所以想到通过一 个中间量来代换,有角的平分线又有垂直,所 以想到转化为一个等腰三角形中进行解决. 05 第 二 部 分 专 题 选 讲 三、 遇见中线,延长中线一倍得到全等三 角形 采用倍长是解决有关三角形中线的题型 最常用的方法. 例3 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边 的中线.则 ( ) A. AB+AC<2AD B. AB+AC>2AD C. AB+AC=2AD D. 以上都不对 解析 延长 AD 至点E,使 DE=AD, 连 接 BE,在△BDE 和 △CDA 中,DE= AD,∠BDE = ∠CDA,BD =CD,所 以 △BDE≌△CDA,所以BE=CA,在△ABE 中,AB+BE>AE,而 BE=AC,AE= 2AD,所以AB+AC>2AD.故选B. 点评 本题实际上是把中线的两倍与原 三角形的一边转化到一个三角形中,利用三 角形的三边关系定理进行解决. 四、 遇见中垂线,连接线段的两端点得三角 形全等 线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等,这一性质在题目中有中垂线的条 件中最常用到. 例4 如图,在△ABC 中,D 为BC 边的 中点,DE⊥BC 交∠BAC 的平分线于点E, EF⊥AB 交AB 于点F,EG⊥AC 交AC 于 点G.求证:BF=CG. 解析 连接EB、EC,因为 D 为BC 边 的中点,DE⊥BC,所以EB=EC. 又 因 为 AE 为 ∠BAC 的 平 分 线,且 EF⊥AB,EG ⊥AC,所 以 EF =EG,在 Rt△EBF 和Rt△ECG 中,EB=EC,EF= EG,所 以 Rt△EBF≌Rt△ECG,所 以 BF =CG. 点评 本题实际上就是构造出以要证的 相等的两条边为对应边的全等三角形.由中 垂线很自然地想到连接线段的两端点. 五、 利用平移构造全等三角形 例5 如图所示,四边形ABCD 中,AC 平分∠DAB,若AB>AD,DC=BC,求证: ∠B+∠D=180°. 解析 利 用 角 平 分 线 构 造 三 角 形,将 ∠D 转移到∠AEC,而∠AEC 与∠CEB 互 补,∠CEB=∠B,使问题得到解决.在 AB 上截取AE=AD, 在△ADC 与△AEC 中, AD=AE ∠DAC=∠EAC AC=AC 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 , 所 以 △ADC ≌ △AEC,所 以 ∠D = ∠AEC,DC=EC. 因为DC=BC,所以CE=B