第二部分 专题二 照镜子中的数学&专题三以本为本看最短距离-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（人教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题二 照镜子中的数学 镜子中的物像对物体来说,究竟改变了 什么? 没有改变什么? 下文从镜子在不同位 置时对物体的改变以及镜子中的时钟问题的 解决方法给同学们作简单介绍. 题引:小明在镜子中看到的时钟的指针 如图甲所示,那么此时是什么时刻? 解法一:“反看正读法”,如图甲,从题目 纸的背面看图,再采用常规的读数方法,即可 读出此时的时刻是11:35; 解法二:“正看逆读法”,如图乙,按逆时 针方向读数,图上的数也按逆时针方向从小 到大排列,也能直接读出11:35; 解法三:“12扣除法”,如图丙,将时钟上 的时间按常规读出后,再从12中减去这个时 间,即用常规读得0:25,则实际时间是12:00 -0:25=11:35; 解法四:“对称法”,如图丁,平面镜成像 的特点之一,像与物体左右颠倒,分别作出时 针和分针以过6点和12点的直线为对称轴 的指针,从而得出该时刻的时间为11:35. 点评 当在物体旁放一面镜子时,镜子 中的物像和物体到镜面的距离相等,即像物 等距;像与物的大小相同,也就是像物等大. 根据轴对称的意义,可知像与物体成轴对称. 平面图形在镜子中的 成像原理如图所示,正中间 的图形代表原图形,长方形 四边的虚线代表图形上下 左右四个方向的镜子,四周 的图形表示图形在镜子中 所成的物像. (1)当镜子与图形垂直,且镜子在图形的 正左边(或正右边)时,图形与它所成的像上 下位置不变,左右位置颠倒; (2)当镜子与图形垂直,且镜子在图形的 正前方(或正后方)时,图形与它所成的像左 右位置不变,上下位置颠倒; (3)当镜子与图形平行,所成的像与镜子 在图形左边所成的像完全相同. 著名数学家赫尔曼·外尔说:“对称是一 种思想,通过它,人们毕生追求,并创造次序、 美丽和完善……”通过上例可以看出,对称不 仅是一种美的思想,还和生活中的一些最优 化问题紧密相连. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像 如图所示,实际时间是 ( ) A. 21:10 B. 10:21 C. 10:51 D.12:01 44 第 二 部 分 专 题 选 讲 专题三 以本为本看最短距离 同学们都知道“两点之间线段最短”,是 解决最短距离问题的依据,在实际问题中,我 们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线 段和的最小值问题,要解决这类问题,可借助 轴对称的性质,将不在同一直线上的线段和 转化为两点之间的距离问题. 题引:如图,点A、B 在直线l的同侧,点 B'是点B 关于l 的对称点,点 AB'交l 于 点P. (1)AB'与AP+PB 相等吗? 为什么? (2)在l 上再取一点Q,并连接 AQ 与 QB,比较AQ+QB 与AP+PB 的大小,并 说明理由. 这是一道利用轴对称的知识求得最短 距离,在近年的中考中,利用这个性质求最 短距离的试题时有出现,试题虽然花样翻 新,但其实质还是一样的,下面举几个例子 说明. 例1 如图①,已知牧马营地在点 M 处,每天牧马人要赶着马群到河边饮水. (1)求到河边饮水的最短路线; (2)如果饮完水后,需再到草地吃草,然 后回到营地,试设计出最短的牧马路线图. 解析 这是一道实际问题,从中抽象出 数学问题是解题的首要.(1)可抽象为点 M 到直线a 的最短距离;(2)可抽象得到这样的 数学模型:直线a、b 间有一点 M,试分别在 a、b上求出两点,使点 M 与这两点构成的三 角形的周长最短.要求周长最短,即要求三条 线段的和最小,结合题意,可利用轴对称的性 质转化为两点之间线段最短的问题. 解 (1)如图②,过点 M 作 MP⊥a 于 点P,MP 即为最短路线; (2)如图③,分别作点 M 关于a、b 的对 称点A、B,连接AB 分别交a、b 于点C,D, 则最短的牧马路线为:M→C→D→M. 点评 (1)利用垂线段最短获解;(2)点 A、M 关于直线a 对称,则可得到CA=CM, 同理DM=DB,所以 MC+CD+DM=AC +CD+DB,这实际上将△MCD 的周长,即 三条不在同一直线上的线段和转化成了两点 之间的距离问题,由于“两点之间,线段最 短”,因此连接AB 与直线a、b的交点即为所 54 第 二 部 分 专 题 选 讲 求的两点. 例2 如下图,某住宅小区拟在休闲场 地的三条道路上修建三个凉亭 A、B、C,且 凉亭与长廊两两连通.如果凉亭A、B 的位 置已经选定,那么凉亭C 建在什么位置,才 能使工程造价最低? 请用尺规作出图形(不 写作法,但保留作图痕迹),并简要说明理由. 解析 要使工程造价最低,必须使长廊 最短,如下图所示. 作法: 1. 作点A 关于直线n 的对称点A'(如 下图); 2. 连接 A'B 交