第二部分 因式分解常用的方法和新题展示-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（华东师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 因式分解常用的方法和新题展示 分解因式是初中数学学习的重要内容, 其基本方法有:提公因式法和公式法,每年的 中考都有涉及,常以选择题、填空题、简答题 的形式出现.下面结合例题加以分析,供同学 们学习时参考. 一、 提公因式法 例1 分解因式:(x+y)2-3(x+y)= . 分析 提公因式法是分解因式的基本方 法,本题中应把x+y 看作一个整体作为公 因式. 解答 (x+y)2-3(x+y)=(x+y)(x +y-3) 二、 公式法 例2 在实数范围内分解因式:x4-4= . 分析 本题给出的多项式是四次二项 式,而且没有一次项,所以可以利用平方差公 式来分解因式. 解答 x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x2 +2)(x+ 2)(x- 2) 注意:分解因式的彻底性. 例3 把多项式x2-4x+4分解因式, 所得结果是 ( ) A. x(x-4)+4 B. (x+2)(x-2) C. (x-2)2 D. (x+2)2 分析 题目中所给的是二次三项式,因 此可以考虑用完全平方公式来分解因式.A 项内容与分解因式的概念不符;B项所得结 果是x2-4;D项展开后是x2+4x+4,与原 式不符,故选C项. 答案 C 三、 提公因式法和公式法的结合 例4 把x3-2x2y+xy2 分解因式,结 果正确的是 ( ) A. x(x+y)(x-y) B. x(x2-2xy+y2) C. x(x+y)2 D. x(x-y)2 分析 本题所给的是三次三项式,没有 常数项,因此首先会想到运用提公因式法,然 后运用公式法.仔细观察都含有x,因此可以 先提取公因式x,得到x2-2xy+y2,再运用 公式法分解因式.A项和C项的结果与题意 不符;B项分解因式不彻底,故选D项. 答案 D 例5 分解因式:2x2-18= . 分析 通过观察本题是一个二次二项 式,且含有公因式2,应先提取,得x2-9,再 运用平方差公式的逆运算进行分解因式. 解答 2x2-18=2(x2-9)=2(x- 3)(x+3) 例6 已知m2-2m=1,则2m2-4m+ 2010的值是 . 分析 根据我们所学知识,现在无法求 出m 的值,因此我们运用整体代入的方法, 先将2m2-4m+2010的前两项提取公因式 2,得到2(m2-2m)+2010,进而求出其值. 解答 2m2-4m+2010=2(m2-2m) 83 第 二 部 分 专 题 选 讲 +2010=2×1+2010=2012 例7 给出三个整式a2,b2 和2ab. (1)当a=3,b=4时,求出a2+b2+2ab 的值; (2)在上面的三个整式中任选两个整式 进行加法或减法运算,使所得的多项式能够 因式分解,请写出你所选的式子及因式分解 的过程. 分析 本题类型是近几年中考的热点, 既考查了分解因式的方法,又考查了学生的灵 活运用能力.(1)是利用公式法对式子先进行 分解因式,再代入a,b的值,从而求出式子的 值;(2)是考查学生灵活运用分解因式的方法 的能力,给出的三个单项式两两相加有三种情 况,但只有两种情况能够分解因式;两两相减 有六种情况,而且都能够分解因式,所以本题 共有 八 种 情 况 能 够 分 解 因 式,因 而 答 案 不 唯一. 解答 (1)a2+b2+2ab=(a+b)2=(3+ 4)2=49 (2)如a2+2ab=a(a+2b)或b2+2ab =b(b+2a)或a2-b2=(a+b)(a-b)或a2 - 2ab=a(a-2b)或b2-2ab=b(b-2a)或 b2-a2=(b-a)(b+a)或2ab-a2=a(2b -a)或2ab-b2 =b(2a-b) 一、 选择题 1. 下列各式中能用完全平方公式进行 因式分解的是 ( ) A. x2+x+1 B. x2+2x-1 C. x2-1 D. x2-6x+9 2. 下列二次三项式是完全平方式的是 ( ) A. x2-8x-16 B. x2+8x+16 C. x2-4x-16 D. x2+4x+16 3. 多项式mx2-m 和多项式x2-2x+ 1的公因式是 ( ) A. x-1 B. x+1 C. x2-1 D. (x-1)2 二、 填空题 4. 把多项式9a3-ab2 分解因式的结果 是 . 5. 分解因式:3x2-27= . 6. 分 解 因 式:(a-b)2-4b2= . 7. 分解因式:x2(x-2)-16(x-2)= . 8.