第二部分 三角形全等的证明-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（华东师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 三角形全等的证明 三角形全等是证明“线段相等”“角相等” 最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角 形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还 在于全等三角形能把已知的线段相等、角相 等与未知的结论联系起来.那么我们应该怎 样应用三角形全等的判别方法呢? (1)条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时, 常常需要先证明线段或角所在的两个三角形 全等,而从近年的中考题来看,这类试题难度 不大,证明两个三角形的条件比较充分.只要 同学们认真观察图形,结合已知条件分析寻 找两个三角形全等的条件即可证明两个三角 形全等. 例1 已知,如图,CE⊥AB 于点E,BD⊥ AC 于点 D,BD,CE 交于点O,且 AO 平分 ∠BAC.那么图中全等的三角形有 对. 分析 根据题目条件,全等三角形有: △ABO≌△ACO,△AEC≌△ADB,△AEO ≌△ADO,△BEO≌△CDO 共4对.做题时 要从已知开始结合判定方法逐个验证,做到 由易到难,不重不漏. 解答 ①在△AEO 与△ADO 中,∵CE ⊥AB 于点E,BD⊥AC 于点D,AO 平分 ∠BAC,∴∠AEO=∠ADO=90°,∠EAO =∠DAO,∵AO=AO,∴△AEO≌△ADO (A.A.S.),∴AE=AD,OE=OD; ②在△OBE 与△OCD 中,∵∠OEB= ∠ODC=90°,∠EOB=∠DOC,OE=OD, ∴△OBE≌△OCD(A.S.A.),∴OB=OC, BE=DC,∠B=∠C; ③在△ABO 与△ACO 中,∵AE=AD, BE=DC,∴AB=AC,∵AB=AC,AO= AO,BO =CO,∴ △ABO ≌ △ACO (S. S.S.); ④在△AEC 与△ADB 中,∵∠AEC= ∠ADB=90°,AC=AB,AE=AD∴△AEC ≌△ADB,故答案为4. 点评 三角形全等常用的方法有S.S. S.、S.A.S.、A.A.S.、H.L.等,应该对每一 种方法熟练掌握做到灵活运用. (2)条件不足,会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题,即指题 中没有确定的已知条件或已知条件不充分, 需要补充使三角形全等的条件.解这类问题 的基本思路是:执果索因,逆向思维,逐步分 析,探索结论成立的条件,从而得出答案. 例2 如图,已知AB=AD,∠1=∠2, 要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是 (只需填一个) . 分 析 ∵AB =AD,∠1= ∠2,∴ ∠BAC=∠DAE,∴若 添 加∠B=∠D 或 64 第 二 部 分 专 题 选 讲 ∠C=∠E 可以利用 A.S.A.或 A.A.S.判 定△ABC≌△ADE,若添加 AC=AE 可以 利用S.A.S.判定△ABC≌△ADE,故答案 ∠B=∠D 或∠C=∠E 或AC=AE. 答案 ∠B=∠D 或∠C=∠E 或AC =AE. 点评 判定两个三角形全等的一般方法 有:S.S.S.、S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、H. L..添加时注意:A.A.A.、S.S.A.不能判定 两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必 须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角 必须是两边的夹角. (3)条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线 用判别方法 在证明两个三角形全等时,当边或角的 关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁, 沟通边或角的关系,使条件由隐变显,从而顺 利运用全等三角形的判别方法证明两个三角 形全等. 例3 已知:如图,AB=AC,∠1=∠2. 求证:AO 平分∠BAC. 分析 要 证 AO 平 分 ∠BAC,即 证 ∠BAO=∠CAO,要证∠BAO=∠CAO,只 需证∠BAO 和∠CAO 所在的两个三角形全 等.而由已知条件知,只需再证明 BO=CO 即可. 解答 连结BC,∵AB=AC,∴∠ABC =∠ACB, ∵∠1=∠2,∴∠ABC-∠1=∠ACB -∠2,即∠3=∠4,∴BO=CO. ∵AB=AC,AO=AO,BO=CO,∴ △AOB≌△AOC(S.S.S.), ∴ ∠BAO = ∠CAO, ∴ AO 平 分∠BAC. 点评 解答本题的关键是利用添加辅助 线借助等腰三角形性质证明OB=OC,为证 三角形全等铺路搭桥. (4)条件中没有现成的全等三角形时,会 通过构造全等三角形用判别方法 有些几何问题中,往往不能直接证明一 对三角形全等,一般需要作辅助线来构造全 等三角形. 例4 已 知:如 图,在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC,D 为BC 的中点, CE⊥AD 于点E,交AB 于点F,连结DF. 求证:∠ADC=∠BDF. 解答 过B 作BG⊥CB 交CF 延长线