第二部分 勾股定理及其逆定理在几何中的重要作用-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（华东师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 高效、快捷! 勾股定理及其逆定理在几何中的重要作用 勾股定理及其逆定理在解决实际问题 中,有着十分重要的应用,它们把“形”与“数” 有机地结合在一起,所以在实际运用时,就要 领会定理实质,运用转化、构造等数学思想, 促进“形”与“数”的相互转化. 一、 证明一个三角形是直角三角形 例1 若三角形的三边分别是a2+b2, 2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是 三角形. 分析 (a2+b2)2=a4+2a2b2+b4,(a2 -b2)2=a4-2a2b2+b4,∵ (2ab)2=4a2b2, (a2-b2)2+(2ab)2=a4+2a2b2+b4=(a2 +b2)2,所以该三角形是直角三角形. 答案 直角 点评 判断三角形是否是直角三角形, 关键是要分析三边的长度关系满足两条边的 平方和等于第三边的平方. 二、 证明一个角是直角 例2 如图,正方形 ABCD 中,边长为 4,AE=2,AF=1,你能说明∠CEF 是直 角吗? 解答 连结CF,则EC2=BE2+BC2= 22+42=20,EF2=AE2+AF2=22+12=5, FC2=FD2+CD2=32+42=25. 所以EF2+EC2=FC2,所以△FEC 是 直角三角形,且∠CEF=90°.所以∠CEF 是 直角. 点评 要判断一个角是否是直角可以构 造一个三角形,看这个三角形是否是直角三 角形,进而来判断这个角是否是直角. 三、 证明平方关系 例3 已 知,如 图,△ABC 中,AB> AC,AD 是BC 边上的高. 求证:AB2-AC2=BC(BD-CD). 解答 在 Rt△ABD 中,AB2=BD2+ AD2,在Rt△ACD 中,AC2=AD2+CD2,所 以AB2-AC2=BD2-CD2=(BD+CD) (BD-CD)=BC(BD-CD). 点评 证明平方关系可以考虑用勾股定 理来解决,本题在相邻的两个直角三角形中 两次使用勾股定理,并巧妙地运用了公共的 边AD 的重要作用,使得问题得以解决. 四、 直角三角形中的计算 例4 如图,有一个直角三角形纸片,两 直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上, 且与AE 重合,你能求出CD 的长吗? 14 第 二 部 分 专 题 选 讲 解答 能. 因为两直角边 AC=6cm, BC=8cm,所以由勾股定理求得AB=10 cm. 设CD=x,由题意知则DE=x,AE=AC= 6,BE=10-6=4,BD=8-x.在Rt△BDE 中,由勾股定理得:42+x2=(8-x)2,解得x =3,所以CD 的长为3. 点评 本题运用了对称的性质,并且巧 妙地运用了方程的思想. 在解决一些问题的 时候,如果不能直接解决问题,就要考虑转化 思想、方程的思想,在求解问题的过程中,常 列方程或方程组来求解. 运用 勾 股 定 理 和 逆 定 理 要 注 意 以 下 几点: (1)勾股定理只适用于直角三角形. 在 运用时要分清斜边和直角边,一定要先找准 直角所对的边,因为它对的边最长,是斜边, 这样才能正确运用定理.如果不能确定哪个 是斜边的时候要注意分类讨论. (2)求线段的长度的时候,常常根据图形 涉及的知识综合运用直角三角形的其他性 质、等腰三角形的性质、轴对称的性质等来 解决. (3)已知条件中有直角,考虑直接使用勾 股定理. 已知条件中没有直角,要考虑添加 辅助线来构造直角三角形,再运用勾股定理 来解决问题. (4)在解决问题的时候要注意不能直接 求解的时候,要注意应用方程的思想,注意应 用线段的长度关系来解决. 一、 选择题 1. 下列各组数据中三个数作为三角形 的边长,其中能构成直角三角形的是 ( ) A. 6,8,10 B. 1,15,4 C. 4,5,6 D. 1,2,3 2. 直角三角形的两直角边分别为5cm, 12cm,其中斜边上的高为 ( ) A. 6cm B. 8cm C. 30 13 cm D. 60 13 cm 3. 如图,在矩形ABCD 中,BC=6,CD =3,将△BCD 沿对角线BD 翻折,使点C 落 在C'处,BC'交AD 于点E,则线段 DE 的 长为 ( ) A. 3 B. 15 4 C. 5 D. 15 2 4. 如图,Rt△ABC 中,AB=9,BC=6, ∠B=90°,将△ABC 折叠,使A 点与BC 的中 点D 重合,折痕为MN,则线段BN 的长为 ( ) A. 5 3 B. 5 2 C. 4 D. 5 5