第二部分 专题五 等腰三角形新题型例析-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（沪科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题五 等腰三角形新题型例析 等腰三角形是初中几何的重要内容,近 年来以等腰三角形为背景的试题,设计巧妙, 形式多样,颇富新意. 一、 规律探究题 例1 已知△ABC 为等边三角形,在图 ①中,点 M 是线段BC 上任意一点,点 N 是 线段CA 上任意一点,且 BM =CN,直线 BN 与AM 相交于Q 点. (1)请猜一猜:图①中∠BQM 等于多 少度? (2)若 M,N 两点分别在线段BC,CA 的延长线上,其他条件不变,如图②所示,(1) 中的结论是否仍然成立? 如果成立,请加以 证明;如不成立,请说明理由. 图① 图② 分析 (1)题通过猜想、测量或证明等方 法不难发现∠BQM=60°,而且这一结论在 图形发生变化后仍然成立.(2)题的证明思路 如下:先 证△ACM ≌△BAN,得 到∠M = ∠N,所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M +∠CAM=∠ACB=60°. 答案 (1)∠BQM=60°,理由如下: ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC, ∠ABC=∠C=60°, 在△ABM 和△BCN 中, AB=BC, ∠ABM=∠C, BM=CN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ∴△ABM≌△BCN, ∴ ∠BAM = ∠CBN,∴ ∠BQM = ∠BAM + ∠ABN = ∠CBN + ∠ABN = ∠ABC=60°. (2)成立.理由如下: ∵△ABC 是等边三角形,∴AB=BC, ∠BAC=∠ACB=60°, ∴∠BAN=∠ACM=120°. ∵BM=CN,∴CM=AN. 在△BAN 和△ACM 中, AB=AC, ∠BAN=∠ACM, AN=CM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ∴△BAN≌△ACM, ∴ ∠M = ∠N,∴ ∠BQM = ∠N + ∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°. 点评 随着几何学习的深入,经常会出 现规律探究题,要求同学们在运动变化中探 求图形某些不变的性质或变化的规律,培养 同学们运动变化的观念,以及发现和解决问 题的能力. 二、 猜想证明题 例2 在直角△ABC 中,AB=AC,∠A= 90°,D 是BC 上任意一点,且DF⊥AB 于F, DE⊥AC 于 E,M 为 BC 的 中 点,试 判 断 △MEF 是什么形状的三角形? 并证明你的 结论. 35 第 二 部 分 专 题 选 讲 分析 这是一道探索结论的试题,解题 时首先利用图形的直观性进行合理的猜想, 然后以 猜 想 为 目 标 寻 找 证 明 思 路.本 题 中 △MEF 是等腰直角三角形. 答 案 连 接 AM.先 证 △AEF ≌ △DFE,得 AE=DF=BF,易 证 AM = BM,所以△AEM≌△BFM(SAS),故 ME =MF,∠AME=∠BMF,又因为∠AMF+ ∠BMF=90°,所以∠AMF+∠AME=90°, 从而△MEF 是等腰直角三角形. 点评 此题主要考查学生对等腰三角形 的判定的理解及运用,得到AE=BF 是正确 解答本题的关键. 1. (无锡中考题)(1)已知在△ABC 中, ∠A=90°,∠B=67.5°,请画一条直线,把这 个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用 下面给出的备用图,把所有不同的分割方法 都画出来.只需画图,不必说明理由,但要在 图中标出相等两角的度数) (2)已知在△ABC 中,∠C 是其最小的 内角,过顶点B 的一条直线把这个三角形分 割成了两个等腰三角形,请探求∠ABC 与 ∠C 之间的关系. 2. 在△ABC 中,AB=AC,点D 是直线 BC 上一点(不与B,C 重合),以AD 为一边 在AD 的 右 侧 作 △ADE,使 AD =AE, ∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图1,当点D 在线段BC 上,如果 ∠BAC=90°,则∠BCE= 度; (2)设∠BAC=α,∠BCE=β. ①如图2,当点D 在线段BC 上移动,则 α,β之间有怎样的数量关系? 请说明理由; ②当点D 在直线BC 上移动,则α,β之 间有怎 样 的 数 量 关 系? 请 直 接 写 出 你 的 结论. 45 x=3时,y1=180;x=5时,y1=300. ∴货车在3≤x≤5时会与小轿车相遇,即60x= 270,解得x=4.5. 当0<x≤3时,小 轿 车 的 速 度 为 270÷3= 90(km/h),而货车速度为60 km/h, ∴货车在0<x≤3时不会与小轿车相遇. ∴货车出发4.5 h与小轿车首次相遇,相遇时与 甲地的距离是270 km. 5. 解:(1)a=4.5,甲车的速度= 460 2 3+7 =60(千 米/时). (2)设乙