第二部分 专题四 全等三角形开放型问题-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（沪科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题四 全等三角形开放型问题 全等三角形是初中数学中最基础、最重 要的一部分内容,是中考数学中的重要内容. 为帮助大家了解中考试题的动向,熟悉中考 数学试题中的全等三角形的题型,以便更好 地做好全等三角形的学习,本专题选取部分 近几年的中考数学试题加以浅析,供同学们 学习时参考. 一、 选择条件型 例1 (南通中考题)如图,已知:点B, F,C,E 在一条直线上,FB=CE,AC=DF. 能否由上面的已知条件证明AB∥ED? 如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三 个条件中选择一个合适的条件 ∙∙∙∙∙∙∙ ,添加到已知 条件中,使AB∥ED 成立,并给出证明. 供选择的三个条件(请从其中选择一 个): ①AB=ED;②BC=EF;③ ∠ACB =∠DFE. 分析 根据全等三角形的判定方法可以 由SSS或SAS证明△ABC≌△DEF 就可 以得出结论. 答案 由上面两条件不能证明 AB∥ EC.有两种添加方法. 第一种:FB=CE,AC=DF,添加①AB =ED. 证明:因为FB=CE,所以BC=EF,又 AC=DF,AB=DE,所以△ABC≌△DEF, 所以∠ABC=∠DEF,所以AB∥ED. 第二种:FB=CE,AC=DF,添 加③ ∠ACB=∠DFE. 证明:因为FB=CE,所以BC=EF,又 ∠ACB=∠DFE,AC=DF,所以△ABC≌ △DEF,所 以 ∠ABC= ∠DEF,所 以 AB ∥ED. 点评 本题不仅是一道探索问题,而且 是一道开放型问题,这种命题的方式在以往 的中考试卷中不多见,且切入点比较低,学生 容易接受. 二、 补充条件型 例2 (泸 州 中 考 题)如图,已知 AC∥ DF,且BE=CF. (1)请你只添加一个∙∙ 条件,使△ABC≌ △DEF,你添加的条件是 ; (2)添加条件后,证明△ABC≌△DEF. 分析 (1)证明两个三角形全等的现有 的条件是BC=EF,∠ACB=∠F,所以可以 添加边AC=DF,利用SAS,也可以添加角 相等,利用 AAS或 ASA;(2)根据添加的条 件利用三角形全等的判定方法证明即可. 答案 (1)AC=DF(或AB∥DE,∠B =∠DEF,∠A=∠D) (2)证明:(选择AC=DF)∵AC∥DF, ∴∠ACB=∠F,∵BE=CF,∴BC=EF, 在△ABC 和△DEF 中, 94 第 二 部 分 专 题 选 讲 BC=EF, ∠ACB=∠F, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ∴△ABC≌△DEF. 点评 本题是一道结论开放型试题,由 于全 等 三 角 形 的 判 定 方 法 有 SSS、SAS、 ASA、AAS和直角三角形的 HL判定法,因 此,这类题目具有答案不唯一的特点.在添加 条件时,要结合图形,挖掘隐含的公共边、公 共角、对顶角等条件. 三、 结论选择型 例3 (广州中考题)如图,∠E=∠F= 90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:① ∠1= ∠2;② BE = CF;③ △ACN ≌ △ABM;④CD=DN. 其中正确的结论是 . (注:将你认为正确的结论都填上) 分析 根据已知“∠E=∠F=90°,∠B =∠C,AE=AF”可得△ABE≌△ACF,因 此有∠EAB=∠FAC,BE=CF,AB=AC, 所以①②正确;因为∠CAB=∠BAC,AC= AB,∠C=∠B,所以△ACN≌△ABM,故 ③也正确;根据条件,无法推出CD=DN,故 ④不正确.所以,正确的结论是①②③. 答案 ①②③ 点评 将多项选择题以填空题的形式出 现,因答案的不唯一,加大了问题的难度,我 们只有对所给的选项一一排查,才能得到正 确的答案. 四、 结论探究型 例4 (楚雄中考题)如图,点A,E,B, D 在同一条直线上,AE=DB,AC=DF, AC∥DF.请探索BC 与EF 有怎样的位置关 系? 并说明理由. 分析 根据所给 条 件,可 证△ACB 与 △DFE 全等,得到∠CBA=∠FED,从而得 到BC 与EF 的位置关系.注意它们不是数 量关系. 答案 BC∥EF.理由如下: ∵AE=DB, ∴AE+BE=DB+BE, ∴AB=DE. ∵AC∥DF, ∴∠A=∠D, ∵AC=DF, ∴△ACB≌△DFE, ∴∠CBA=∠FED, ∴BC∥EF. 点评 探索线段关系,有数量关系与位 置关系. 若探索线段相等,可考虑它们所在 两个三角形是否全等;若探索位置关系,可考 虑所对应的角的关系. 五、 运动变化型 例5 (临 沂 中 考 题)在 △ABC 中, ∠ACB=90°,AC=BC,直线MN 经过点C, 且AD⊥MN 于D,