第二部分 专题三 聚焦一次函数图象信息问题-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（沪科版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 专题三 聚焦一次函数图象信息问题 一次函数图象应用是初中数学的重点内 容之一,涉及两个一次函数图象的问题频频 出现在各省市的中考试卷中,这类题目不但 格调新颖、设计独特,而且紧密结合社会实践 和市场经济实际,它在考查同学们对基础知 识掌握程度的同时,更能突出对应用数学意 识的考查力度. 一、 依据题意,选择图象 例1 (黄冈中考题)货车和小汽车同时 从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶, 小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原 路返回甲地,已知甲、乙两地相距180千米, 货车的速度为60千米/时,小汽车的速度为 90千米/时,则下图中能分别反映出货车、小 汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间 t(小时)之间的函数图象的是 ( ) A B C D 分析 本题考查一次函数的应用及其图 象,解题 的 关 键 是 正 确 判 断 两 车 与 乙 地 的 距离. 答案 甲、乙两地相距180千米,货车的 速度为60千米/时,货车从甲地到乙地需要 3小时,在甲地时,函数图象上对应的点坐标 是(0,180),到了乙地时,对应的点的坐标是 (3,0),因为是匀速运动,故货车对应的函数 图象应该是一条连接(0,180)和(3,0)的线 段;小汽车的速度为90千米/时,从甲地到乙 地只要2小时,但是到了乙地之后立刻沿原 路返回甲地,再经过2小时,到达甲地,因为 同样是匀速运动,故小汽车对应的函数图象 应该形如一个“V”,连接(0,180)、(2,0)和 (4,180)的一条折线,故选择C. 点评 本题的另一种解法是求函数关系 式,即货车离乙地的距离y(千米)与行驶时 间t(小时)之间的函数关系式是y=180- 60x,对于小汽车,要分类讨论,从甲地开往 乙地的过程中y=180-90x,从乙地开往甲 地的过程中y=90x-180,根据函数关系式 画出图象即可. 二、 利用函数的观点确定不等式或方程 组的解 例2 (淄博中考题)一 次函数y=3x+b和y=ax -3的图象如图所示,其交 点为P(-2,-5),则不等式 3x+b>ax-3的解集在数 轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 分析 函数y=3x+b 和y=ax-3的 图象交于点P(-2,-5),求不等式3x+b> ax-3的解集,就是看函数在什么范围内y 54 第 二 部 分 专 题 选 讲 =3x+b的图象对应的点在函数y=ax-3 的图象上面. 答案 从图象得到,当x>-2时,y= 3x+b的图象对应的点在函数y=ax-3的 图象上面, ∴不等式3x+b>ax-3的解集为x> -2. 故选C. 点评 本题考查了一次函数与不等式 (组)的关系及数形结合思想的应用.解决此 类问题的关键是仔细观察图形,注意几个关 键点(交点、原点等),做到数形结合. 三、 依据具体情境,确定函数具体点或 线段的含义 例3 (金华中考题)小慧和小聪沿图1 中的景区公路游览,小慧乘坐车速为30 km/h 的电动汽车,早上7:00从宾馆出发,游玩后 中午12:00回到宾馆.小聪骑自行车从飞瀑 出发前往宾馆,速度为20 km/h,途中遇见小 慧时,小慧恰好游完一景点后乘车前往下一 景点,上午10:00小聪到达宾馆.图2中的图 象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与时间 t(h)的函数关系.试结合图中信息回答: (1)小聪上午几点钟从飞瀑出发? (2)试求线段AB,GH 的交叉点B 的坐 标,并说明它的实际意义; (3)如果小聪到达宾馆后,立即以30 km/h的速度按原路返回,那么返回途中他 几点钟遇见小慧? 图1 图2 分析 本题考查了利用一次函数的图象 解决实际问题、分段函数、待定系数法,解决 问题的关键是正确理解函数图象横、纵坐标 表示 的 意 义,并 能 准 确 读 图、识 图、析 图 和 用图. 答案 (1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时 间为50÷20=2.5(h), ∵小聪上午10:00到达宾馆, ∴小聪从飞瀑出发的时刻为10-2.5= 7.5(h),所以小聪早上7:30从飞瀑出发. (2)设直线GH 的函数表达式为s=kt +b, 由于点G( 1 2 ,50),点 H(3,0), 则有 1 2k+b=50 , 3k+b=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 k=-20, b=60. ∴直线GH 的函数表达式为s=-20t +60. 又∵点B 的纵坐标为30,∴当s=30 时,-20t+60=30,解得t= 3 2 (h), ∴点B 32,30 . 点B 的实际意义是:上午8:30小慧与 小聪在离宾馆30 km (即景点草甸) 处第一