上海市青浦区2023-2024学年高三上学期期终学业质量调研数学试卷

2023学年第一学期高三年级期终学业质量调研 数 学 试 卷 Q2023.12 学生注意： 1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合，，则 ． 2．若复数满足，则 ． 3．已知满足，则 ．（结果用含有的式子表示）． 4．2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后,园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ． 5．的二项展开式中项的系数是 ．（用数值作答） 6．已知球的表面积是，则该球的体积是 ． 7．某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第百分位数为 ． 8．若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ． 9．已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ． 10．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 11．已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ． 12．已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知，,则“”是“”的（ ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）. A． B． C． D． 15．已知直线m，n，平面，.给出下列命题： ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，且，则； ④若，，且，则. 其中正确的命题的个数是（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 16．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线． 对于曲线有如下命题： 存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是( ). A．和均为真命题 B．和均为假命题 C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面． （1）求证：平面； （2）若直线与所成的角大小为，求的长． 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在△中，角所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求△的周长的最大值． 19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：门 门 l l 安全 出口 撤离方向 1. 疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2. 所有人员排成单列行进撤离； 3. 队列中人员的间隔是均匀的； 4. 队列匀速地撤离建筑物． （1）上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； （2）如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆的离心率是，长轴长，椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上． （1）求椭圆的标准方程； （2