3.4.3空间中的距离问题 教案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第3课时　 空间中的距离问题 一、学习目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 二、课前引入 在生活中可以看到很多道路上都有限高杆．主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上的设备设施的安全．比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等．如图所示，限高3.1 m．同学们，你知道3.1 m指的哪段距离，数学中的距离是如何定义的呢？ 3、 教学过程 1知识点新课讲解 点到平面的距离 问题　设点P是平面α外一点，点A是平面α内的已知点，n0是平面α的单位法向量，如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示　过点P作PP′⊥平面α，垂足为P′，则线段PP′的长度就是点P到平面α的距离，而∥n0，所以向量在法向量n0方向上的投影向量的长度就等于线段PP′的长度． 知识点① 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作投影向量的长度，即d＝|·n0|. 知识点② (1)若n是平面α的法向量，点P到平面α的距离就是在平面的法向量上的投影向量的长度．即d＝. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 知识点③ 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线l的距离d＝. 平行线间的距离可转化为点到直线的距离． 2课堂例题一深入讲解-----------点到平面的距离 例1　如图所示，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°.求点A到平面FBD的距离． 解　设AC∩BD＝O， 因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， 所以易得AF⊥平面ABCD，以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则B(－，0,0)，D(，0,0)，F(0,1,2)，A(0,1,0)． 因为＝(2，0,0)，＝(，1,2)， 设平面FBD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得n＝(0，－2,1)， 又因为＝(0,0,2)， 所以点A到平面FBD的距离d＝＝＝. 教师点评 用向量法求点面距离的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系． (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标． (3)求向量：求出相关向量的坐标(，α内两不共线向量，平面α的法向量n)． (4)求距离d＝. 3课堂例题二深入讲解----------直线到平面的距离 例2　已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点，PA＝2，且PA⊥平面ABC，Q是CE的中点． (1)求证：AE∥平面PFQ； (2)求AE与平面PFQ的距离． (1)证明　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内过点A且垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系． 因为AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，E，F分别是BC，AC的中点， 所以A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)，E(，3,0)，Q，P(0,0,2)． 因为＝，＝(，3,0)， 所以＝2. 因为AE与FQ无交点， 所以AE∥FQ. 又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ， 所以AE∥平面PFQ. (2)解　由(1)知，AE∥平面PFQ， 所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ的距离． 设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，则x＝－，z＝1， 所以平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)． 又＝， 所以所求距离d＝＝. 教师点评 求直线到平面的距离可转化为直线上一点到平面的距离． 4课堂例题三深入讲解---------------点到直线的距离 例3　在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 解　方法一　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y,0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)． ∵＝(－2,3,0)，⊥，∥， ∴解得∴D， ∴||＝＝. 即O1到直线AC的距离为. 方法二　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)， ∴＝(－2,0,2)，＝(－2，3,0)， ∴·＝(－2,0,2)·(－2,3,0)＝4， 取a＝＝(－2,0,2)，u＝＝， ∴a·u＝＝， ∴O1到直线AC的