精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024届高三上学期期中数学试题

河南省信阳高级中学2023—2024学年高三上学期12月期中 数学试题 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 设，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 点集表示的曲线总长度等于（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（ ） A. 面积为的圆 B. 面积为的圆 C. 离心率为的椭圆 D. 离心率为的椭圆 6. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）． A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题 9. 已知等差数列{}的前n项和 ，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当取得最大值时 D. 当取得最大值时 10. 设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 11. 若圆与圆的公共弦AB的长为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 直线AB的方程为 C. AB中点的轨迹方程为 D. 四边形的面积为 12. 在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（ ） A. 点四点不共面 B. 在底面内射影面积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦的最大值为 D. 当为中点时，四棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________． 14. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为__________.用表示 15. 已知△ABC的面积为1，且AB=2BC，则当AC取得最小值时， BC的长为________. 16. 数列满足，，为的前n项和，若，则的范围为_______________． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （Ⅰ）证明柯西不等式：； （Ⅱ)若且，求的最小值． 18. 设数列为等差数列，其前n项和为，数列为等比数列．已知． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 19. 如图所示，多面体中，底面为正方形，四边形为矩形，且，，. （1）求平面与平面所成二面角大小； （2）点P在线段上，当平面时，求与平面所成的角的正弦值. 20. 已知内角的对边分别为，，，，且． （1）求的大小； （2）若平分线交于点，且，求的取值范围． 21. 设，. （1）若，求的单调区间； （2）讨论在区间上的极值点个数； （3）是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 22. 已知椭圆左、右焦点分别为、， （1）过右焦点的直线被C所截线段是弦，当垂直于x轴时弦为通径ST，求证： 最小值是通径； （2）如图所示，若C右顶点为，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点. （ⅰ）求椭圆C的标准方程； （ⅱ）过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点，若，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学2023—2024学年高三上学期12月期中 数学试题 一、单选题 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可化简求值. 【详解】由得， 故选：A 2. 设，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】若为奇函数， 则， ， 解得，经检验，符合题意， “”是“为奇函数”的充分不必要条件. 故选：A． 3. 点集表示的曲线总长度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意整理得，，且，结合直线，圆的方程分析求解. 【详解】由题意可知：，解得， 因为，则或， 若，