第二部分 实数比较大小的方法技巧-【期末·寒假大串联】2023-2024学年八年级数学（北师大版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 实数比较大小的方法技巧 带根号的实数或式子,在形式上不容易 看出大小或比较大小,若要比较大小就要采 用恰当的方法.下面举例说明几种方法. 一、 概念法 正实数>0>负实数,两个负实数绝对值 大的反而小. 例1 将实数 5,π,0,-6从小到大用 “<”连起来,可表示为 . 解析 由 5≈2.236,π≈3.14,-6<0 <2.236<3.14,得-6<0< 5<π. 答案 -6<0< 5<π 二、 平方法 当a>0,b>0时,a>b⇔ a> b.基本 思路是先将要比较的两个正数分别平方,可 由a2>b2 得到a>b. 例2 比较大小:2 3(填“>” “=”或“<”). 解析 利用 3的取值范围进而比较得 出即可.3介于2和22 之间,所以3的算术平 方根 3介于 2与2之间. 答案 > 三、 移动因数法 基本思路是利用a= a2(a≥0),将根 号外的因数平方后移入到根号内,再比较被 开方数的大小. 例3 比较43和52的大小. 解析 本题应先将根号外的4和5平方 后分别移到根号内,然后比较被开方数的大 小即可;另外,本题也可用平方法来解. 答案 因为4 3= 48,5 2= 50, 48< 50,所以43<52. 四、 作差法 当a-b=0时,可知a=b;当a-b>0 时,可知a>b;当a-b<0时,可知a<b. 例4 与无理数 31最接近的整数是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析 由25<31<36,5< 31<6,得 31在 5 与 6 之 间.又 由 11 2 - 31 = 11-2 31 2 = 121- 124 2 <0 ,得11 2 < 31.所以 11 2< 31<6 ,即与无理数 31最接 近的整数是6.故选C. 答案 C 五、 作商法 若A B=1 ,则A=B;若 A B>1 ,则A>B; 若A B<1 ,则A<B.(A,B>0) 例5 比较 45 3 和 11的大小. 解析 采用作商法比较大小. 93 第 二 部 分 专 题 选 讲 答案 因为 45 3 ÷ 11= 45 3 × 1 11 = 80 99 <1,所以 45 3 < 11. 六、 借助数轴法 数轴上原点左边的点表示负数,右边的 点表示正数;右边的点表示的数比左边的点 表示的数要大. 例6 实数a,b,c,d 在数轴上的对应点 的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的 是 ( ) A. a B. b C. c D. d 解析 首先根据数轴的特征,以及绝对 值的含义和性质,判断出实数a,b,c,d 的绝 对值的取值范围,3<|a|<4,1<|b|<2,0 <|c|<1,2<|d|<3,然后比较大小,判断 出这四个数中,绝对值最大的是a.故选A. 答案 A 七、 倒数法 基本思路是设a,b为任意两个正实数, 先分别求出a 与b 的倒数,再根据当 1 a> 1 b 时,a<b,来比较a 与b的大小. 例 7 比 较 2 014 - 2 013 与 2 015- 2 014的大小. 解 析 1 2 014- 2 013 = 2 014+ 2 013, 1 2 015- 2 014 = 2 015+ 2 014, 而 2 014+ 2 013< 2 015+ 2 014, 所 以 2 014 - 2 013 > 2 015 - 2 014. 1. 如图,数轴上的A,B,C,D 四点中, 与表示数- 3的点最接近的是 ( ) A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 比较大小: (1) 3-1 5 1 5. (2)1- 2 1- 3. 3. 比较27与33的大小. 4. 比较 2+ 6与 3+ 5的大小. 04 (2)当点P 在直线l1 上方时,有∠3= ∠2-∠1;当点P 在直线l2 下方时,有∠3= ∠1-∠2. 第二部分 专题选讲 实数比较大小的方法技巧 小试牛刀 1. B 2. (1)< (2)> 3. 解:∵27= 28,33= 27. 又∵28>27,∴27>33. 4. 解:(2+ 6)2=8+2 12,(3+ 5)2=8+2 15. ∵8+212<8+215, ∴ 2+ 6< 3+ 5. 构造二元一次方程组有技巧 小试牛刀 解:根据题意得: 1-p+q=-5, 9+3p+q=3, 解这 个方程组得: p=0, q=-6. 增设辅助元 巧解应用题 小试牛刀 解:设