轨迹问题 立体几何核心考点专练-2024届高三数学一轮复习

2024届立体几何核心考点（三）轨迹问题 这类问题的特征是空间几何体上的动点在运动过程中始终保持与某一固定的几何结构如固定的线段或者固定的平面垂直或者平行，或者动点到某个定点的距离为定值. 在这样的约束条件下，看似毫无规律的动点运动将会有迹可循，从而为我们后续进一步的讨论打下基础. 需要注意的是，在上述约束条件的翻译过程中，几何法和坐标法均可适用，所以不必拘泥于哪种方法，重要的是将约束条件准确翻译，从而找到动点实际的运动踪迹. 1． 经典例题 1.已知长方体，，，是的中点，点在长方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是　　 A．6 B． C． D．9 2.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（       ） A． B． C． D． 3．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是　　 A． B． C． D． 4．已知在三棱锥中，为中点，平面，，，下列说法中错误的是　　 A．若为的外心，则 B．若为等边三角形，则 C．当时，与平面所成角的范围为 D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为2 5.若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（     ） A． B． C．3 D． 二．习题演练 1．棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为　　 A． B． C． D．1 2．（多选）已知正方体的棱长为1，动点在其表面上运动，且，其中点的轨迹长度为，给出下列结论正确的有　　 A． B．（1） C． D． 6．在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．记点的轨迹长度为，则　　；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为　　． 7．若四棱锥的侧面内有一动点，已知到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则当二面角平面角的大小为时，的值为　　． 2024届立体几何核心考点（三）轨迹问题 一．经典例题解析 1.已知长方体，，，是的中点，点在长方体内部或表面上，且平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是　　 A．6 B． C． D．9 解析：如图所示，，，，，分别为，，，，的中点，则，，所以平面平面， 所以动点的轨迹是六边形及其内部．因为，， 所以，，， 到的距离为，所以． 2.已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（       ） A． B． C． D． 解析：由题意，取的中点，的中点，连接，，，，， 作图如下： 在正方体中，易知，，，则共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，当平面时，平面，正方体的棱长为，在中，，解得，同理，在中，，解得， 则中边上的高，即，故选：D. 3．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且面，则在侧面上的轨迹的长度是　　 B． B． C． D． 4．已知在三棱锥中，为中点，平面，，，下列说法中错误的是　　 A．若为的外心，则 B．若为等边三角形，则 C．当时，与平面所成角的范围为 D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为2 解析：为的外心，可得， 平面，可得，即有，正确； 若为等边三角形，若，又，可得平面， 即，由可得，矛盾，故错误； 若时，设与平面所成角为， 可得，，设到平面的距离为， 由，可得， 即有，当且仅当取得等号， 可得的最大值为，，即有的范围为，，正确； 取的中点，的中点，连接，，， 由中位线定理可得，，可得平面平面， 可得在线段上，而，可得正确．故选：． 5.若点是棱长为2的正方体表面上的动点，点是棱的中点，，则线段长度的最大值为（     ） A． B． C．3 D． 解析：分别取，中点，，连接，，，首先与平行且相等，与平行且相等，因此与平行且相等， 四边形是平行四边形，在同一平面内，易得，，所以，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面. 而，则平面，所以点轨迹是矩形（除点）.四边形是矩形，当与重合时，最大，且最大值为.故选：C. 二．习题演练解析 1．棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为　　 A． B． C． D．1 解析：连接，，，则可证平面，故点轨迹围成图形为△， 又，． 2．（多选）已知正方体的棱长为1，动点在其表面上运动，且，其中点的轨迹长度为，给出下列结论正确的有　　 A． B．（1） C． D． 解析：动点在其表面上运动，且， 点的轨迹是以为球心，为半径的球的球面与正方体的面的交线， 当时，点的轨迹如图， 则，所以