三次函数的图象与性质讲义-2024届高三数学一轮复习

三次函数知识点总结 知识点一：三次函数概念 定义：形如叫做三次函敞 ，把叫做三次函数导函数的判别式 当时，令，记两根为 知识点二：三次函数的图像及单调性 注意：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！ 图像 图像 性质 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 恒成立 在上递增 无极值点 增区间 减区间 有两个极值点 极大值，极小值 恒成立 在上递减 无极值 知识点三：三次函数的韦达定理 设的三个零点分别为，则 (1) (2) (3) (4) 知识点四：三次函数的零点个数 若三次函数存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 性质 三次函数图像 说明 零点个数 三个 两个极值符号相异 图像与轴有三个交点 两个 有一个极值为0 图像与轴有两个交点 一个 不存在极值时， 函数单调，与轴有一个交点 知识点五：三次函数的对称性 结论1：三次函数的图象关于点中心对称 结论2：已知三次函数中心对称点的横坐标为，两个极值点分别为，则 结论3：若图像关于点对称，则图像关于轴对称 结论4：点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数 结论5：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 知识点六：三次函数的零点性质定理 定理一：已知三次函数的图象与轴交点分别为，点是三次函数固象上异于，的一点，且在点处的切线的斜率为，的斜率分别为，结论： 定理二：已知三次函数图像与轴交点分别为，点是平面上任意一点，，的斜率分别为，结论： 定理三：已知三次函数的图像与轴交点分别为，且在这三点处的切线的斜率分别为，结论： 定理四：已知三次函数在其中心对称点处切线的斜率为，且的图像与轴的交点分别为在这三点处的切线的斜率分别为，结论： 定理五：已知三次函数的图像与轴的交点分别为，过的法线为，过的法线为，过且与轴垂直的直线为，若与交点为与交点为，结论：的中点恰为 知识点七：三次函数的割线性质定理 定理一：已知在三次函数的图像上任取点作一条切线，切点为过作一条割线，交点为，结论：点的横坐标平分的横坐标.即 推论一：已知在三次函数的图像上任取点，过点作一条切线，切点为，过点作两条割线，交点分别为与，结论：点的横坐标平分的横坐标，也平分的横坐标，即 推论二：已知在三次函数的图像上任取点，过作两条切线，切点分别为，结论：点的横坐标平分的横坐标，即 定理二：已知三次函数的中心对称点为点，极大值为，且的两拫为的极小值点为，结论：区间被与平分， 即.(四段横坐标差相等) 知识点八：三次函数的切线条数判断定理 类型一：过三次函数图像上任一点的切线 ①设点为三次函数图像上任一点，则过点一定有直线与的图像相切. ②若点为三次函数图像的中心对称点，则过点有且只有一条切线； ③若点不是三次函数图像的对称中心，则过点有两条不同的切线. 类型二：过三次函数图像外一点的切线 区域分布切线条数判定定理：过三次函数的中心对称点作切线，平面被该切线和函数图像分割为四个区域，I，II，II，VI，不妨记该切线为区域V，三次函数曲线为区域，如上图所示，设点为平面内一点，令，则 ①当，则为中心对称点，过点作的切线，条数为1条(见类型一) ②当，且，则在区域或VI上(挖掉中心对称点)，条数为2条 ③当，且，则在区域II，IV内，过点作切线，条数为1条 ④当，且，则在区域I，III内，过点作切线，条数为3条 类型三：由三次函数切线斜率值判断切线条数 斜率值切线条数判定定理： 已知三次函数，若其切线斜率为，则满足其切线斜率为的切线的条数如下： 与系数的关系 一条 一条 两条 两条 零条 两条 题型一：三次函数的零点问题 例1．（2023·全国·高三专题练习）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：三次函数的最值、极值问题 例2．已知函数，. （1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）设.若，在上的最小值为，求的零点. 题型三：三次函数的单调性问题 例3．已知函数，，m是实数. （1）若在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下,函数有三个零点，求m的取值范围. 题型四：三次函数的切线问题 例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数． (1)求曲线在点，处的切线方程； (2)设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围． 变式c．（2023·全国·高三专题练习）设函数在处取得极值． (1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程； (2)若过点可作曲线的三条