精品解析：上海市格致中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

格致中学二〇二三学年度第一学期第二次测验 高二年级 数学试卷 一、填空题（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. 异面直线和所成的角为，则的范围是______． 2. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是______. 3. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼． 4. 已知事件与事件相互独立，如果，那么______. 5. 某圆锥底面半径为4，高为3，则此圆锥的侧面积为______． 6. 如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，求直线与平面所成角的大小为______. 7. 从字母中任取两个，则取到字母概率为______． 8. 将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的侧面积为,则该几何体的体积为______. 9. 如图，三棱锥中， ，点分别是中点，则异面直线所成的角的余弦值是________． 10. 在边长为的等边三角形ABC中，于，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为_______． 11. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙猜的数字记为，其中，若或，就称甲乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为______． 12. 已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱中点，点为平面的一动点，则的最小值是______． 二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分） 13. 下列事件:①当x是实数时,;②某班一次数学测试,及格率低于;③从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机事件的是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 14. 如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，那么第次出现反面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 在正四棱锥中，面于，，底面的边长为，点分别在线段上移动，则两点的最短的距离为（ ） A. B. C. D. 16. 已知球O是正三棱锥的外接球，，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（见答题卷）（本大题共4小题，满分42分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分. 17. 如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等. (1)求证:直线AC垂直于直线SD； (2)若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满? 18. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： （1）2个球都是红球； （2）2个球中恰好有1个红球； （3）2个球不都红球； （4）至少有1个是红球． 19. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且为中点． （1）求二面角的余弦值； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 20. 如图，斜三棱柱中，，为的中点，为的中点，平面⊥平面． （1）求证：直线平面； （2）设直线与直线的交点为点，若三角形是等边三角形且边长为2，侧棱，且异面直线与互相垂直，求异面直线与所成角； （3）若，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱的高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 格致中学二〇二三学年度第一学期第二次测验 高二年级 数学试卷 一、填空题（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分） 1. 异面直线和所成的角为，则的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用异面直线所成角定义可得答案. 【详解】由异面直线所成角的定义可知：异面直线和所成角的范围为. 故答案为：. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】向量垂直用坐标表示为，代入即可求出答案. 【详解】， ， 因与互相垂直， 所以, 即， 解得：. 故答案为： 3. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼． 【答案】