精品解析：河北省邯郸市鸡泽县第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

鸡泽一中高二数学12月份月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. -30° B. 60° C. 150° D. 120° 2. 已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 1 3. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. 4. 如图，在正方体中，是中点，则异面直线与所成的角的余弦值是 A. B. C. D. 5. 已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 7. 已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 直线l的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则直线平面 B. 若，则直线平面 C. 若则直线l与平面所成角的大小为 D. 若，则平面所成角的大小为 10. 已知正方体的棱长为1，H为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ） A. 二面角的大小为 B. C. 若O在正方形内部，且，则点O的轨迹长度为 D. 若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为 11. 如图所示，正方体的棱长为1，、、分别为、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的余弦值为 B. 点到距离为 C. 直线与平面平行 D. 三棱锥的体积为 12. 已知正项数列中，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 等差数列中，，前项和为，若，则______. 14. 如图从双曲线（其中）的左焦点引圆的切线，切点为，延长，交双曲线右支于，若为线段的中点，为原点，则的值为用、表示__________． 15. 2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线C．已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______．（填上你认为所有正确的序号） ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P只有1个； ③； ④的最大值为． 16. 若椭圆与双曲线在第一象限内有交点，且双曲线左、右焦点分别是，，点是椭圆上任意一点，则面积的最大值是_________． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5． （1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为8，求直线的方程． 18. 已知数列满足，． （1）记，证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）求数列前项和． 19. 如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为中点，，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 20. 如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x 轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N. 21. 如图，四棱锥中，侧面PAD为等边三角形，线段AD的中点为O且底面ABCD，，，E是PD的中点． （1）证明：平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求平面MAB与平面ABD夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求点D到平面MAB的距离． 22. 如图，已知椭圆G：的、右两个焦点分别为、，设，，，若为正三角形且周长为6． （1）求椭圆G的标准方程； （2）若过点且斜率为的直线与椭圆G相交于不同的两点M、N两点，是否存在实数k使成立，若存在，求出k的值；