4.3.1等比数列的概念（第一课时）2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.3.1 等比数列的概念 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义； 2.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题； 3.体会等比数列与指数函数的关系。 01 复习导入 复习回顾 1.等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示. 等差数列的通项公式 3.它的通项公式是什么？ 2.递推公式是什么？ 等差数列的符号语言： (是常数, 且) (是常数, ) 情景导入 探究：将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。 情景导入 这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。 如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。 思考：纸的厚度是如何变化的？ 折1次 折2次 折3次 折4次 … 折30次 探究：当折到30次时（纸的厚度为0.01毫米），估算纸的厚度。 30次后，纸厚度为 （米） 02 等比数列的概念 新知探究 情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ，， ① ，，， ② ，，，. ③ 情境2：《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 新知探究 情境3：在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 就通过分裂繁殖一代，每一个细菌都分裂成两个，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是，， ⑤ 情境4：某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. . ⑥ 新知探究 ，， ① ，，， ② ，，，. ③ ④ ，， ⑤ . ⑥ 思考1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 这些数列有这样的规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于常数. 新知探究 思考2：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗? 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0）． 等比数列的递推关系： 或 注: (1)从第二项起每一项与它的前一项之比为常数; (2)任意一项且 (3)时，为非零常数列. 用于证明等比数列 新知探究 追问1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？ 追问2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？ 追问3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？ 常数列一定是等差数列，公差为0； 非零常数列是等比数列，公比为1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1. 等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的项和公比均不可以是0 如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列； 0,0,0,0,…是等差数列，不是等比数列； 新知探究 等差中项 等比中项 如果三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 如果三个数a，G，b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项 定义 a，A，b成等差数列 a，G，b成等比数列 关系 思考3：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？ 新知探究 如果在 a 和 b 中间插入一个数G，使 a，G，b 成等比数列，那么G叫做 a 与 b 的等比中项. 此时G2=ab. 等比中项 注意： (1) G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项。，即等比中项有两个，且互为相反数． (2) 当时，G不一定是a与b的等比中项．例如 ，但0,0,5不是等比数列． 新知探究 例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比． （1） ， ， ， ， ， ； （2） , , , , ， ； （3） ， ， ， ， ； （4） , , , , , ， ； （5） ， , ， , ， . 解:（1）不是等比数列；（2）是等比数列，且公比为1；（3）是等比数列，且公比为