4.3.2等比数列的前n项和公式（第一课时）2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式 人教A版 选择性必修第二册 教学目标 1.理解等比数列的前n项和公式的推导方法 2.会用错位相减法求数列的和． 3.掌握等比数列的n项和公式并能运用公式解决一些简单问题 01 情景导入 情景导入 国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了. l 已知1000颗麦粒的质量约为40，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王能否实现他的诺言. 情景导入 问题1：这位聪明的宰相要求的麦粒总数是多少呢？ 麦粒总数为 问题2：1,21,22,…263 构成什么数列？ 等比数列 问题3：1+21+22+…+263 应归结为什么数学问题呢？ 求等比数列的前n项和问题 02 等比数列的前n项和公式 新知探究 所以将①式两边同乘以2则有 探究2：观察上式相邻两项，有什么特征？ 如果我们把每一项都乘以2，就变成了与它相邻的项 S64=1+2+22+···+ 262 +263 ① 探究1：如何求这个数列的前n项和？ 2S64=2+22+23+···+263+264 ② 新知探究 ① ② 思考：观察整个过程，①式两边为什么要乘以2 ？ 探究3：比较①、②两式，你有什么发现？ ①-②得： 错位相减法 新知探究 一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016 ~ 2017年度世界小麦产量的981倍． 因此，国王根本不可能实现他的诺言． 探究4：根据以上计算判断国王能否实现他的诺言. 新知探究 ① ② ①-②得： ①×q 得 思考1：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？ 思考2：要求出Sn,是否可以把上式两边同除以（1-q）？ 新知探究 ①当1-q≠0，即q≠1时，除以1-q得 ②当1-q＝0，即q＝1时， 注意：分类讨论 新知探究 等比数列前n项和公式 (1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况. (2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法. (3)步骤: 乘公比，错位写，对位减. 注意： 新知探究 思考3：等比数列的前n项和公式有何函数特征？ 03 等比数列前n项和公式的应用 新知探究 例1.已知数列是等比数列. (1)若求 (2)若求； (3)若求. l 新知探究 (2)：由，∴即 又由，得： 所以， 解(1)：∵，，所以 新知探究 (3)：把，，代入， 得： 整理，得： 解得， 新知探究 B 新知探究 例2.在等比数列中，公比为，前项和为. (1)若，求； (2)若，，求及. 解(1)：显然， 由，即， ∴.又 即∴. 新知探究 得， ∴ 代入得，∴ ∴ (2)：（方法一）由得，由题意得： 新知探究 (2)：（方法二）由 ∴∴ 代入得，∴ ∴ 新知探究 方法总结 新知探究 新知探究 新知探究 例3.已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若 求公比q. 新知探究 例4.在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求{an}的通项公式．(2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 新知探究 04 课堂小结 课堂小结 (1)当公比q≠1时，设A＝eq \f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)， 即Sn是关于n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是关于n的正比例函数． 练习：在等比数列{an}(n∈N*)中，若a1＝1，a4＝eq \f(1,8)，则S10＝(　　) A．2－eq \f(1,28)　　　 B．2－eq \f(1,29) C．2－eq \f(1,210) D．2－eq \f(1,211) 解：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式．设公比为q， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1q3＝\f(1,8)，))解得q＝eq \f(1,2). 则该数列的前10项和为S10＝eq \f(a1（1－q10）,1－q)＝eq \f(1－\f(1,210),1－\f(1,2))＝2－eq \f(1,29). (1)“知三求二”实质是方程思想． (2)当已知a1，q(q≠1)及n时，用公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)求和比