4.3.1 等比数列的概念（第一课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 【情境1】两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： 9，92，93，……，910； 100，1002，1003，……，10010； 5，52，53，……，510. ③ ① ② 【情境2】《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 【情境3】在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是？ 2,4,8,16,32,64,… 5 【情境4】某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息. 2,4,8,16,32,64,… ④ ⑤ 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 9，92，93，……，910； 100，1002，1003，……，10010； 5，52，53，……，510. ③ ① ② 【思考】类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？ 一、等比数列的概念 若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，则该数列叫等比数列； 这个常数叫做公比，记为q(q≠0). ①等比数列的每一项和公比都不为0. ③非零常数列既是等差数列，又是等比数列，公差为0，公比为1. ②当 q= 1时， 为常数列. 注： 如：1,1,1,1,…是等差数列，也是等比数列 【例1】判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比. (5) 0,1,2,4,8,… (6) 2,0,2,0,2,… 二、等比中项 【问题】在下列两数中插入一个数，使其三个数成等比数列 ① 2，___ ，8； ② -1，____ ，- 4 注： ②若a,G,b成等比数列，则必有G2=ab； 若G2=ab，不能说明a,G,b成等比. 【思考2】反之，若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 注：三个数a，G，b成等比数列 【如a=G=0,b=5时不成等比.】 【思考1】任意两个数都有等比中项吗？ 注：①同号的两数才有等比中项，且等比中项有2个，它们互为相反数； 三、等比数列的通项公式 类比 不完全归纳法得 an=a1+(n-1)d 不完全归纳法得an=a1qn-1 类比 累加法得an-a1=(n-1)d,n≥2 n=1，亦符合 【思考】如何严格推导等比数列的通项公式？ n=1，亦符合 等比数列的通项公式 ③一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项an+1的等比中项. 等比数列{an}中, 已知m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 则aman=asat . 证明：设等比数列{an}的公比为q，则 am=a1qm-1，an=a1qn-1, ak=a1qk-1，al=a1ql-1, 所以 aman=(a1qm-1) (a1qn-1) = a12qm+n-2, akal=(a1qk-1) (a1ql-1) = a12qk+l-2, 因为m+n=k+l(m, n, k, l∈N*), 所以aman=akal . 特别地，若m+n=2k (m, n, k∈N*), 则aman=ak2 . 在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积, 例 1：若等比数列{an}的第 4 项和第 6 项分别为 48 和 12，求{an}的第 5 项. 解法 1：由 a4 = 48，a6 = 12，得： 的两边同时除以 ① 的两边，得：q2 = ， ， 解得：q = 或 – . 把 q = ± 代入 ① 中，得：a1 = ±384， 又 a5= a1 · q4， ∴ a5= 24 或 – 24. 解法 2：∵ a5 是 a4 与 a6 的等比中项，∴ a52 = a4 · a6 = 48×12 = 546， ∴ {an} 的第 5 项是 24 或 – 24. ∴ a5 = ± = ±24. 练习.已知等比数列{an} 的各项均为正数，且a5a6+a4a7=6 ，则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 =_______. 解:∵等比数列{an}的各项均为正数, 且a5a6+a4a7=6， ∴ a5a6=a4a7=3， 则log3a1+ log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1‧a2‧ a3 ‧…‧a10) =log3 (a5a6)5 =log335=5 . 例2：已知等比数列的公比为，试用的第项表示. ①②得 ， 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示. 解：依题意， ② 所以， 四、等比数列与指数函数的关系 由 an = · qn 可知： 当 q > 0 且 q ≠ 1 时，等比数列 {an} 的第 n 项 an 是指数函数 f (x) = · qx (x∈R) 当 x = n 时的函数值， 即 an = f (n)（如图）. 任给指数函数 f (x) = kax (k，a为常数，a > 0且a ≠ 1)，则 f (1) = ka，f (2) = ka2，…， f (n) = kan，··· 构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 【探究】类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性. (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列. (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列. (3)当q＝1时，{an}是常数列； 当q<0时，{an}是摆动数列. 所有的奇数项同号，所有的偶数项同号，但奇偶项异号 例3 数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 总结规律 5.已知数列{an}是等比数列 (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么? 当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗? 课本31页练习题第5题 练习：已知数列满足，， . （1）求证： 是等比数列； 证明：因为，所以，即 ， 因为，所以， 所以，所以 是等比数列. （2）求 的通项公式. 解：由（1）知，是首项 ，公比为2的等比数列， 所以，即，所以 . 总结：判断等比数列的方法 （1）定义法： （2）等比中项法： 且 （3）通项公式法： 或 课堂练习 练习.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列并求通项公式. 证明： （法一 定义法） 因为 ，所以 . 又 因为 所以 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 练习.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列并求通项公式. 证明： （法二 等比中项法） 因为 ，所以 . 又 因为 所以 所以 即 成等比数列， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 练习.在数列中，若，且 . 证明：数列是等比数列并求通项公式. 所以数列是首项为，公比为2的等比数列. 则可考虑待定系数法 构造新的辅助数列 是首项为 公比为p的等比数列，求出 ,再进一步求通项 类型:形如 的递推式求通项式 通用方法：构造法(待定系数法) 课 堂 小 结 等差数列 等比数列 定义（符号表示） an - an-1=d 公差与公比 d可以是0 等差中项与 等比中项 2A=a+b 通项公式 an=a1+(n－1)d an=am+(n－m)d 函数类型 一次函数 q ≠ 0 G 2=ab an=a1qn-1 an=amqn-m 指数型函数 例4. 用 10 000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到1元)？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10-5）？ 分析: 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金,再计算下一期的利息. 所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和a , a(1+r), a(1+r)2, …构成等比数列. 例4. 用 10 000元购买某个理财产品一年. (2)若以季度复利计息, 存4个季度, 则当每季度利率为多少时, 按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到10-5)？ 解: (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列 {bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1=104(1+r)，公比为1+r，于是 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 b4=104(1+r)4. 所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. [104(1+r)4-104]元. 解不等式104(1+r)4-104≥491，得r ≥1.206%. 一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. 归纳总结 例5. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%, 产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 产量 不合格率 等比数列 等差数列 分析： 不合格品 产量×不合格率 例5. 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 解: 设从今年1月起 , 各月的产量及不合格率分别构成数列{an}, {bn}. 由题意，知an=1050×1.05n-1, bn=1-[90%+0.4%(n-1)]=0.104-0.004n, 其中n=1, 2,… , 24, 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 anbn=1050×1.05n-1× (0.104-0.004n) =1.05n× (104-4n). anbn=1.05n× (104-4n) 由计算工具计算（精确到0.1），并列表 n 1 2 3 4 5 6 7 anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13<100即可. 得 n>5. 所以，当n≥6时，数列{anbn}递减. 又a13b13≈98<100. 所以, 当13≤ n ≤24时，anbn ≤ a13b13<100. 所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内. 通常利用相邻项的大小比较得出数列的单调性．而数列两项大小比较可用作差法也可用作商法． 方法总结 若{an}，{bn}分别是公比为q，q′的等比数列，则有： (1)新数列{c·an}是公比为q的等比数列(c为不等于零常数). (5)新数列{|an|}是公比为|q|的等比数列. 归纳 =pq 课本34页练习题第2题 课本34页练习题第5题 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三个数成等比数列，一般可设为，a，aq. (2)四个数成等比数列，一般可设为，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3，但前一种设法的公比为q2，只适合数列的各项同正或同负． (3)五个数成等比数列，一般可设为，，a，aq，aq2.　 ∴数列 { 3an }是以27为首项,以9为公比的等比数列. 证明: (1)由题意：a1=3, d =2， 则{ an }的通项公式为: an =2n+1. ∴数列 { log3an }是以1为首项,以-2为公差的等差数列. ∴ cn+1 - cn = [3-2(n+1)] - (3-2n)= -2 (2)新数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq \o\al(2,n)}是等比数列，且公比分别是eq \f(1,q) ，q2. (3)新数列{an·bn}是等比数列，公比是q·q’， (4)新数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))是等比数列，公比是 eq \f(q,q') . ∵pq是一个与n无关的常数， ∴{cn}是以 pq为公比的等比数列. 2 设数列{an}，{bn}都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数列， 若是，证明结论；若不是，请说明理由. (1)数列{cn}, cn= an·bn ; (2)数列{dn}, dn= ; 证明：(1) 设{an}的公比为p，{bn}的公比为q， ∴数列{an}的第1,2,3项递增,从第4项起每一项小于前一项, 因此当n=3时an取得最大值. 5 已知数列{an}的通项公式为 ，求使an取得最大值时n的值. 解：数列{an} 中， $$